Rapporto di verosimiglianza

In statistica il test del rapporto di verosimiglianza è un test che confronta la bontà di adattamento di due modelli, tipicamente un modello alternativo rispetto al modello nullo, basandosi sulle funzioni di verosimiglianza.

Ipotesi semplici

Il test di verosimiglianza prende il nome dal fatto che valuta la verosimiglianza di un’ipotesi. Per verosimiglianza si intende la probabilità che un’ipotesi sia vera, considerando i risultati osservati. È importante non confondere la verosimiglianza con la probabilità: se un fenomeno può essere spiegato da molte cause, ciascuna può essere verosimile, ma ciò non implica che sia probabile. La verosimiglianza è, quindi, un'analisi condotta a posteriori, non un giudizio a priori.

Indicando come variabile ${\displaystyle \theta }$ le condizioni che stiamo cercando allora in un sistema di ipotesi semplici viene rappresentato come segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&:&\theta =\theta _{0}\\H_{1}&:&\theta =\theta _{1}\end{aligned}}}$

Ovvero le due ipotesi sul fenomeno ${\displaystyle H_{0}}$ e ${\displaystyle H_{1}}$ ipotizzando due condizioni differenti di partenza e su queste viene calcolata la funzione di rapporto di verosomiglianza

${\displaystyle \Lambda (x)={\frac {~{\mathcal {L}}(\theta _{0}\mid x)~}{~{\mathcal {L}}(\theta _{1}\mid x)~}}}$

L'espressione ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta _{0}\mid x)}$ indica una funzione di verosomiglianza condizionata. Ovvero risponde alla domanda "Quanto era probabile ottenere ${\displaystyle x}$ come lo abbiamo ottenuto ipotizzando che ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$ ?". Il rapporto tra le due funzioni di verosimiglianza ci dice dunque quanto l'ipotesi zero è più verosimile dell'ipotesi uno. Solitamente viene scelta una soglia di rapporto oltre la quale si considera un'ipotesi predominate e sotto la quale non si può invece stabilire con certezza.

Esempio

Mettiamo di sapere che da un lancio di due dadi è uscito come totale 8. Però non ci viene rivelato se i due dadi erano dadi classici a sei facce, oppure dadi a quattro facce.

Allora il nostro sistema di potesi è il seguente:

${\displaystyle H_{0}:}$ I dadi sono a sei facce

${\displaystyle H_{1}:}$ I dadi sono a quattro facce

${\displaystyle x:}$ Il totale è 8

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta _{0}\mid x)={\frac {5}{36}}}$ poiché ci sono 5 modi ${\displaystyle ([2,6],[6,2],[3,5],[5,3],[4,4])}$ su 36 per ottenere otto con due dadi da 6 facce

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta _{1}\mid x)={\frac {1}{16}}}$ poiché c'è un solo modo ${\displaystyle ([4,4])}$ su 16 per ottenere otto con due dadi da 4 facce

${\displaystyle \Lambda (x)={\frac {~{\mathcal {L}}(\theta _{0}\mid x)~}{~{\mathcal {L}}(\theta _{1}\mid x)~}}={\frac {\frac {5}{36}}{\frac {1}{16}}}={\frac {20}{9}}\sim 2,22}$

Dunque l'ipotesi che i dadi abbiano 6 facce è il doppio verosimile rispetto all'ipotesi che abbiano quattro facce.

Voci correlate

• Funzione di verosimiglianza
• Probabilità condizionata
• Teorema di Bayes
• Test di verifica d'ipotesi