Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale esistono una matrice unitaria ed una diagonale per cui:
Come corollario segue che l'operatore è autoaggiunto se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.
Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.
Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.
Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di sono ortogonali e in somma diretta:
Equivalentemente, se è la proiezione ortogonale su , si ha:
Sia un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert . Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore tale per cui:
dove è lo spettro di . Si dice che è la misura a valori di proiettore associata ad .
In particolare, se è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:
definita sullo spettro di , in cui è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad nel seguente modo:
per ogni funzione misurabile limitata , e in tal caso si ha:
La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di .[3]
Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare tramite una misura a valori di proiettore limitata allora è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad . Ogni operatore limitato autoaggiunto può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata .
(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN0-12-585050-6.