Nucleo di Fredholm

In matematica, un nucleo di Fredholm è un tipo di nucleo integrale definito su uno spazio di Banach, ed associato ad uno o più operatori nucleari. Si tratta di uno degli elementi principale della teoria di Fredholm, parte della quale è stata sviluppata da Alexander Grothendieck e pubblicata nel 1955.

Definizione

Sia ${\displaystyle B}$ uno spazio di Banach e ${\displaystyle B^{*}}$ il suo duale, ovvero lo spazio dei funzionali lineari limitati definiti su ${\displaystyle B}$. Il prodotto tensoriale ${\displaystyle B^{*}\otimes B}$ è uno spazio completo con la norma:

${\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert }$

dove l'estremo inferiore è valutato considerando tutte le rappresentazioni finite:

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}e_{i}\in B^{*}\otimes B}$

Il completamento con tale norma è anche denotato come:

${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$

ed è chiamato prodotto tensoriale topologico proiettivo. Un nucleo di Fredholm è un elemento di tale spazio.

Proprietà

Ogni nucleo di Fredholm ${\displaystyle X}$ possiede una rappresentazione nella forma:

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}}$

con ${\displaystyle e_{i}\in B}$ e ${\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}}$ tali che ${\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}$ e:

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty }$

Ad ogni nucleo si può associare l'operatore lineare:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B}$

la cui rappresentazione canonica è:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)\otimes e_{i}}$

Inoltre, si può associare una traccia, data da:

${\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i})}$

Nuclei p-sommabili

Un nucleo di Fredholm è detto p-sommabile se:

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty }$

ed è detto essere di ordine q se q è l'estremo inferiore di ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ per tutti i p che rendono il nucleo p-sommabile.

Operatori di classe traccia su spazi di Banach

Un operatore ${\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}$ è detto operatore nucleare o di classe traccia se esiste un nucleo di Fredholm ${\displaystyle X\in B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$ tale che ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{X}}$. Un tale operatore è p-sommabile e di ordine q se lo è ${\displaystyle X}$. In generale, ci può essere più di un ${\displaystyle X}$ associato ad un operatore di classe traccia, sicché la traccia non è univocamente definita. Tuttavia, se ${\displaystyle q\leq 2/3}$ allora la traccia è unica, come stabilito dal teorema di Grothendieck.

Uno spazio di Fréchet in cui ogni funzione limitata a valori in uno spazio di Banach è di classe traccia viene detto spazio nucleare.

Teorema di Grothendieck

Se ${\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}$ è un operatore di ordine ${\displaystyle q\leq 2/3}$ allora si può definire una traccia:

${\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}}$

dove ${\displaystyle \rho _{i}}$ sono gli autovalori di ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Inoltre, il determinante di Fredholm:

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)}$

è una funzione intera di z, e vale la formula:

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)}$

Inoltre, se ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ è parametrizzato da qualche numero complesso ${\displaystyle w}$, ovvero ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}$, e se la parametrizzazione è olomorfa su qualche dominio, allora:

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)}$

è olomorfa nello stesso dominio.

Bibliografia

• A. Grothendieck, La théorie de Fredholm Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1956) pp. 319–384
• A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires Mem. Amer. Math. Soc. , 5 (1955)

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Classe traccia
• Determinante di Fredholm
• Equazione integrale di Fredholm
• Funzione di Green
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Spettro (matematica)
• Teoremi di Fredholm
• Teoria di Fredholm

Collegamenti esterni

• (EN) B.V. Khvedelidze, Fredholm kernel, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.