Teoremi di Fredholm

In matematica, i teoremi di Fredholm sono un insieme di risultati dovuti a Ivar Fredholm nell'ambito della teoria di Fredholm delle equazioni integrali.

Si tratta di teoremi strettamente correlati che possono essere esposti nell'ambito delle equazioni integrali, dell'algebra lineare o dell'operatore di Fredholm su spazi di Banach. Tra i vari teoremi vi è anche l'alternativa di Fredholm.

Algebra lineare

Sia ${\displaystyle M}$ una matrice, allora il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori riga è il nucleo della matrice:

${\displaystyle (\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M}$

In modo simile, il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori colonna è il nucleo della matrice aggiunta:

${\displaystyle (\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}}$

Equazioni integrali

Sia ${\displaystyle K(x,y)}$ il nucleo di una trasformata integrale e si considerino le equazioni:

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)\qquad \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y)}$

dove ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ denota il complesso coniugato del numero complesso ${\displaystyle \lambda }$, e similmente per ${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$.

Allora per ogni valore fissato di ${\displaystyle \lambda }$ le equazioni hanno o la soluzione banale ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$ oppure hanno lo stesso numero di soluzioni linearmente indipendenti ${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$, ${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$.

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che ${\displaystyle K(x,y)}$ sia a quadrato sommabile sul rettangolo ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$, dove a e b possono assumere valore illimitato.

Il teorema può essere esteso a spazi in più dimensioni, come ad esempio le superfici di Riemann.

Esistenza delle soluzioni

Uno dei teoremi di Fredholm riguarda l'esistenza delle soluzioni dell'equazione di Fredholm:

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)}$

Le soluzioni esistono se e solo se la funzione ${\displaystyle f(x)}$ è ortogonale all'insieme completo delle soluzioni ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}}$ della corrispondente equazione aggiunta:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0}$

dove ${\displaystyle {\overline {\psi _{n}(x)}}}$ è il complesso coniugato di ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$, e la precedente relazione è uno degli insiemi di soluzioni per:

${\displaystyle \lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0}$

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che ${\displaystyle K(x,y)}$ sia a quadrato sommabile sul rettangolo ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$.

Teorema analitico di Fredholm

Sia ${\displaystyle D}$ un sottoinsieme aperto e connesso di ${\displaystyle \mathbb {C} }$, sia ${\displaystyle f}$ una funzione analitica definita su ${\displaystyle D}$ a valori nello spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert e sia ${\displaystyle f}$ compatta per ogni ${\displaystyle z\in D}$. Il teorema analitico di Fredholm afferma che o ${\displaystyle (I-f(z))^{-1}}$ non esiste per alcun ${\displaystyle z\in D}$, oppure ${\displaystyle (I-f(z))^{-1}}$ esiste per ogni ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle D\setminus S}$, dove ${\displaystyle S}$ è un sottoinsieme discreto contenuto in ${\displaystyle D}$, ovvero tale che non ha punti limite in tale insieme. In tal caso l'operatore ${\displaystyle (I-f(z))^{-1}}$ è mereomorfo di ${\displaystyle D}$ e analitico in D\S. Inoltre, i residui ai poli sono operatori dal rango finito, e se ${\displaystyle z\in S}$ allora ${\displaystyle f(z)\psi =\psi }$ ha una soluzione non nulla nello spazio di Hilbert.[1]

L'alternativa di Fredholm

L'alternativa di Fredholm è un importante corollario del teorema analitico di Fredholm che afferma che se ${\displaystyle A}$ è un operatore compatto su uno spazio di Hilbert allora o ${\displaystyle (I-f(z))^{-1}}$ esiste oppure ${\displaystyle A\psi =\psi }$ ha una soluzione.[2]

Note

1. Reed, Simon, Pag. 202.
2. Reed, Simon, Pag. 203.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (SV) E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390.

Voci correlate

• Alternativa di Fredholm
• Autovettore e autovalore
• Determinante di Fredholm
• Equazione differenziale lineare
• Equazione integrale di Fredholm
• Funzione di Green
• Nucleo di Fredholm
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Spettro (matematica)
• Teoria di Fredholm

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teoremi di Fredholm, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) B.V. Khvedelidze, Fredholm theorems, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.