Spazi delle righe e delle colonne

Righe di una matrice.

Colonne di una matrice.

In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice ${\displaystyle A_{m\times n}}$ con valori reali (o più in generale in un campo ${\displaystyle K}$) è il sottospazio di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (o più in generale di ${\displaystyle K^{n}}$ ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di ${\displaystyle K^{m}}$ generato dalle colonne.

Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di ${\displaystyle A}$. Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$.

Esempio

Ad esempio, consideriamo una matrice

${\displaystyle A:={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\\\end{bmatrix}}}$

e denotiamo le sue righe con ${\displaystyle r_{1}=(2,4,1,3,2),r_{2}=(-1,-2,1,0,5),r_{3}=(1,6,2,2,2),r_{4}=(3,6,2,5,1)}$.

Lo spazio delle righe di ${\displaystyle A}$ è il sottospazio di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$ generato da

${\displaystyle \{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}}$

Viceversa, denotando le colonne con ${\displaystyle c_{1}=(2,-1,1,3),c_{2}=(4,-2,6,6),c_{3}=(1,1,2,2),c_{4}=(3,0,2,5),c_{5}=(2,5,2,1)}$. Lo spazio delle colonne di ${\displaystyle A}$ è il sottospazio di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ generato da

${\displaystyle \{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}\}}$

Proprietà

Lo spazio delle colonne è anche l'immagine dell'applicazione lineare ${\displaystyle L_{A}:K^{n}\to K^{m}}$ definita come

${\displaystyle x\mapsto Ax.}$

Voci correlate

• Spazio nullo