Moström ha iniziato a giocare a calcio nelle giovanili dello AIK, prima di trasferirsi nel 2001 al Café Opera. Vi è rimasto fino alla fine del 2003 e l'anno seguente è tornato all'AIK, stavolta per giocare nella prima squadra.
Ha debuttato in Allsvenskan in data 4 aprile 2004, quando è subentrato a Göran Marklund nel successo per 1-0 sul GIF Sundsvall.[1] Il 5 luglio dello stesso anno ha realizzato la prima rete in campionato per il suo club, contribuendo così al successo per 3-1 sull'IFK Göteborg.[2] Alla fine di quella stessa stagione, l'AIK è retrocesso in Superettan, ma ha riconquistato la promozione già nel campionato 2005.
Dopo la fine dell'Allsvenskan 2006, ha lasciato la natia Svezia e si è trasferito nella confinante Norvegia per giocare nel Molde, squadra appena retrocessa in 1. divisjon, secondo livello del campionato locale. Ha esordito per il nuovo club il 9 aprile 2007, giocando da titolare nel match vinto per 2-3 sul campo del Sogndal.[3] Il 17 giugno ha segnato la prima rete in campionato per il Molde, contribuendo al successo della sua squadra in casa dell'Haugesund col punteggio di 2-4.[4] Il Molde è arrivato al primo posto finale in classifica ed ha conquistato così la promozione nell'Eliteserien.
Il 30 marzo 2008 ha giocato così il primo incontro nella massima divisione norvegese, che è terminato con un pareggio per 0-0 contro lo Stabæk.[5] Il 31 agosto dello stesso anno è arrivato anche il primo gol nell'Eliteserien, nel pareggio per 3-3 in casa del Viking.[6] L'8 novembre 2009 è stato titolare nella finale del Norgesmesterskapet giocata contro l'Aalesund, ma il Molde è stato sconfitto ai calci di rigore.[7]
Il 26 luglio 2011 ha firmato un contratto con il Kalmar, che sarebbe stato valido dal 1º gennaio successivo.[8] Il 25 agosto quest'accordo è stato però rescisso, poiché il calciatore si è pentito della scelta ed ha preferito rimanere in forza al Molde.[9] Ha vinto poi il campionato 2011 con la sua squadra. Il Molde ha centrato il titolo anche l'anno seguente. Il 4 luglio 2014 ha rinnovato il contratto che lo legava al Molde fino al 31 dicembre 2016.[10]
Il 4 ottobre successivo ha vinto il campionato 2014 con il suo Molde, raggiungendo matematicamente il successo finale con quattro giornate d'anticipo grazie alla vittoria per 1-2 sul campo del Viking.[11] Il 9 settembre 2016 ha prolungato il contratto col Molde fino al 31 dicembre 2018.[12] Si è ritirato dal calcio professionistico al termine della stagione 2020. A giugno 2021 è stato reso noto il suo ritorno in campo, a livello dilettantistico: avrebbe infatti giocato per il Træff.[13]
In vista della stagione 2023, Moström è passato al Rival.[14]
