Lemma di Nakayama

Il lemma di Nakayama è un teorema di grande importanza nello studio degli anelli commutativi unitari, in particolare degli anelli locali; esso dà informazioni sul rapporto tra il radicale di Jacobson di un anello e i suoi moduli finitamente generati.

Prende il nome dal matematico giapponese Tadashi Nakayama.

Enunciato

Il lemma di Nakayama afferma che, se ${\displaystyle I}$ è un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di un anello ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle M}$ è un ${\displaystyle A}$-modulo finitamente generato tale che ${\displaystyle IM=M}$, allora ${\displaystyle M}$ è il modulo nullo.

Da questo seguono due importanti conseguenze (${\displaystyle I}$ è sempre un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle M}$ un modulo finitamente generato):

• se ${\displaystyle N}$ è un sottomodulo di ${\displaystyle M}$ tale che ${\displaystyle N+IM=M}$, allora ${\displaystyle N=M}$;
• se ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}}$ sono elementi di ${\displaystyle M}$ le cui immagini generano ${\displaystyle M/IM}$, allora ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}}$ generano ${\displaystyle M}$.

Il primo di questi due risultati si ottiene applicando il lemma di Nakayama a ${\displaystyle M/N}$, mentre il secondo si ottiene applicando il precedente ad ${\displaystyle M}$ e al sottomodulo ${\displaystyle N}$ generato dagli ${\displaystyle m_{i}}$.

Un enunciato più generale, a volte chiamato lemma di Nakayama, afferma che, se ${\displaystyle I}$ è un (qualsiasi) ideale di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle A}$-modulo finitamente generato tale che ${\displaystyle IM=M}$, allora esiste un ${\displaystyle r}$ tale che ${\displaystyle r-1\in I}$ e ${\displaystyle rM=0}$.

Dimostrazione

La dimostrazione del lemma di Nakayama è spesso effettuata a partire dal teorema di Cayley-Hamilton, che afferma che, se ${\displaystyle \phi \colon M\longrightarrow M}$ è un endomorfismo tale che ${\displaystyle \phi (M)\subseteq IM}$, allora esistono degli elementi ${\displaystyle m_{j}\in I}$ tali che l'endomorfismo

${\displaystyle \phi ^{n}+m_{n-1}\phi ^{n-1}+\cdots +m_{1}\phi +m_{0}}$

è nullo (dove ${\displaystyle \phi ^{k}}$ indica la composizione di ${\displaystyle \phi }$ con sé stesso ${\displaystyle k}$ volte).

Se ora ${\displaystyle IM=M}$, si può prendere come ${\displaystyle \phi }$ l'identità su ${\displaystyle M}$: questo implica che l'elemento ${\displaystyle 1+m_{n-1}+\cdots +m_{1}+m_{0}}$ è l'elemento ${\displaystyle r}$ cercato, perché la moltiplicazione per ${\displaystyle r}$ diventa l'endomorfismo nullo, ovvero ${\displaystyle rM=0}$.

Se ora ${\displaystyle I}$ è contenuto nel radicale di Jacobson ed ${\displaystyle i\in I}$, allora ${\displaystyle 1+i}$ è un elemento invertibile dell'anello; in particolare, l'elemento ${\displaystyle r}$ appena trovato sarà invertibile, e dunque anche ${\displaystyle M}$ dovrà essere il modulo nullo.

Anelli locali

Il lemma è particolarmente utile quando l'anello ${\displaystyle A}$ è locale, in quanto in questo caso il radicale di Jacobson coincide col suo ideale massimale ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

Se l'anello è anche noetheriano, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ stesso può essere visto come un ${\displaystyle A}$-modulo finitamente generato: se ${\displaystyle A}$ non è un campo (ovvero ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\neq 0}$) il lemma di Nakayama implica che ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}\neq {\mathfrak {m}}}$, e che la sua dimensione (come spazio vettoriale sul campo residuo ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$) è uguale al numero minimo di elementi necessari per generare ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Grazie al teorema dell'ideale principale, questa dimensione è sempre maggiore o uguale della dimensione di Krull di ${\displaystyle A}$; quando si ha l'uguaglianza, l'anello è detto regolare.

Un'ulteriore conseguenza della lemma di Nakayama è che, su anelli locali, tutti i moduli proiettivi sono liberi.[1]

Note

1. (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 103, ISBN 0-521-43500-5.

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• Irving Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5.