Lunghezza di un modulo

In matematica, la lunghezza di un modulo è una quantità (un numero naturale oppure infinito) che misura la "grandezza" di un modulo, generalizzando la nozione di dimensione degli spazi vettoriali.

Definizioni equivalenti

Sia ${\displaystyle M}$ un modulo su un anello ${\displaystyle A}$. La lunghezza di una catena di sottomoduli è definita come il numero massimo di inclusioni strette: così la catena

${\displaystyle N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}}$

ha lunghezza ${\displaystyle n}$. La lunghezza di ${\displaystyle M}$ su ${\displaystyle A}$, indicata come ${\displaystyle \ell _{A}(M)}$ (o ${\displaystyle \ell (M)}$ se non c'è rischio di confusione) è l'estremo superiore delle lunghezze delle catene di ${\displaystyle A}$-sottomoduli di ${\displaystyle M}$.

Esempi

Il modulo ${\displaystyle \{0\}}$ è l'unico modulo ad avere lunghezza 0, mentre i moduli semplici (ovvero i moduli senza sottomoduli propri) sono gli unici ad avere lunghezza 1. Se l'anello ${\displaystyle A}$ è un campo, allora le catene di sottomoduli non sono altro che le catene di sottospazi vettoriali; di conseguenza, la lunghezza di ${\displaystyle M}$ come ${\displaystyle A}$-modulo coincide con la dimensione di ${\displaystyle M}$ come spazio vettoriale.

L'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (o, più in generale, qualsiasi anello la cui dimensione di Krull è maggiore di 1) non ha lunghezza finita su sé stesso: ad esempio, nel caso di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dato un intero ${\displaystyle n}$ arbitrario, la catena

${\displaystyle 2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z} }$

ha lunghezza ${\displaystyle n}$.

Moduli di lunghezza finita

Un modulo ${\displaystyle M}$ è di lunghezza finita se e solo se i suoi sottomoduli verificano contemporaneamente la condizione della catena ascendente e la condizione della catena discendente, ovvero se e solo se è contemporaneamente un modulo noetheriano e un modulo artiniano; in particolare, un anello ${\displaystyle A}$ è di lunghezza finita su sé stesso se e solo se è artiniano, ovvero noetheriano e di dimensione 0. In tal caso, la lunghezza di ${\displaystyle M}$ è uguale alla lunghezza di una sua qualsiasi serie di composizione, ovvero di una catena di sottomoduli

${\displaystyle N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

tale che ogni quoziente ${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}}$ sia un modulo semplice.

Il teorema di Krull-Schmidt garantisce che ogni modulo di lunghezza finita può essere espresso come somma diretta (finita) di una famiglia di moduli indecomponibili.

Successioni esatte

Sia

${\displaystyle 0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0}$

una successione esatta di ${\displaystyle A}$-moduli. Allora ${\displaystyle \ell _{A}(M)=\ell _{A}(L)+\ell _{A}(N)}$, e in particolare ${\displaystyle M}$ ha lunghezza finita se e solo se sia ${\displaystyle L}$ che ${\displaystyle N}$ hanno lunghezza finita. In particolare, i sottomoduli e i quozienti di un modulo di lunghezza finita sono di lunghezza finita, così come la somma diretta finita ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$ di moduli di lunghezza finita; in quest'ultimo caso, la lunghezza della somma è uguale alla somma della lunghezza degli ${\displaystyle M_{i}}$.

Esiste inoltre un analogo della formula di Grassmann: se ${\displaystyle N,P}$ sono sottomoduli di ${\displaystyle M}$, allora

${\displaystyle \ell _{A}(N+P)+\ell _{A}(N\cap P)=\ell _{A}(N)+\ell _{A}(P)}$.

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.