All'età di tre anni ricevette come regalo da Michael Schumacher il suo primo kart e a 12 anni inizio a competere a livello agonistico[2]. Nel 2015 e 2016 ha vinto due volte il Campionato Australiano di Kart, mentre nel 2017 è arrivato sesto nel Campionato del Mondo CIK-FIA e terzo nel Campionato Europeo Karting CIK-FIA dietro a Jonny Edgar e Harry Thompson[3].
Nel 2021 passa al team italiano Trident con Clément Novalak e David Schumacher[14]. Nella terza gara di Barcellona arriva secondo dietro a Dennis Hauger conquistando così il primo podio nella categoria[15]. Nella gara principale al Paul Ricard Doohan vince su pista bagnata battendo il pilota della Prema Dennis Hauger[16]. Nella prima gara in Austria finisce settimo ma grazie le penalità di altri piloti sale fino al terzo gradino del podio[17]. Si ripete in gara 3 all'Hungaroring con un altro terzo posto. Doohan conquista la sua prima pole nella categoria in Belgio davanti a Victor Martins, sul bagnato[18]. Il giorno seguente vince sia gara-2 sia gara-3, avvicinandosi al leader della classifica Hauger[19][20].
Nell'ultimo round a Soči conquista la sua seconda pole position davanti al compagno di team Clément Novalak[21], dopo una prima gara deludente e la seconda cancellata per pioggia vince gara-3 davanti a Frederik Vesti conquistando il titolo team con Trident e finendo secondo in classifica piloti dietro al campione Dennis Hauger[22].
Formula 2
Concluso il campionato di Formula 3 Doohan ha l'opportunità di salire in Formula 2 correndo gli ultimi due round della stagione 2021 di Formula 2 con il team MP Motorsport in sostituzione di Richard Verschoor[23]. Ottiene i suoi primi punti nella categoria nella seconda gara di Gedda, giungendo quinto. Nelle qualifiche di Yas Marina ottiene un ottimo secondo posto[24].
Il 13 dicembre 2021 il team Virtuosi Racing annuncia l'ingaggio di Doohan e del giapponese Marino Sato per la stagione 2022 della Formula 2[25]. In Bahrain, nella prima qualifica della stagione conquista subito la pole position[26], ma in gara chiude solo decimo dopo un incidente con Théo Pourchaire che l'ha costretto a un cambio alettone. A Barcellona conquista la sua seconda pole, in gara chiude secondo in gara dietro a Felipe Drugovich[27]. Nella Sprint Race di Silverstone ottiene la su prima vittoria nella serie[28]. La sua seconda vittoria arriva sempre in una Sprint Race, l'australiano riesce al Hungaroring davanti ad Enzo Fittipaldi[29]. La sua terza vittoria stagione arriva nella Feature Race di Spa dove batte Felipe Drugovich[30]. Doohan chiude la stagione sesto posto in classifica generale e terzo tra i Rookie[31].
Per la stagione 2023, Doohan viene confermato dal team Virtuosi dove viene affiancato da Amaury Cordeel[32]. Il pilota australiano ottiene un ottimo secondo posto nella Feture di Jeddah e un terzo posto nella Sprint di Silverstone[33][34]. Il pilota australiano ottiene due vittorie consecutive nelle Feture Race, la prima al Hungaroring, dopo essere partito dalla pole[35] e la seconda a Spa[36]. La sua terza vittoria stagionale arriva nel ultima gara ad Abu Dhabi. A fine stagione Doohan chiude al terzo posto in classifica, dietro Théo Pourchaire e Frederik Vesti[37].
Per la stagione seguente ricopre sempre il ruolo di terzo pilota e scende in pista al posto di Esteban Ocon nella prova libera del Gran Premio del Canada[46]. Anche nel Premio di Gran Bretagna ha la possibilità di scendere in pista con la vettura francese[47].