Identità di Parseval

In matematica, in particolare in analisi funzionale, l'identità di Parseval o identità di Bessel-Parseval è un importante risultato che riguarda la sommabilità della serie di Fourier di una funzione. Si tratta di un'uguaglianza che adatta il teorema di Pitagora a particolari spazi funzionali a dimensione infinita. Deve il suo nome al francese Marc-Antoine Parseval.

Informalmente, l'identità di Parseval stabilisce che la somma dei quadrati dei coefficienti di Fourier di una funzione è pari all'integrale del quadrato della funzione:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx}$

dove i coefficienti di Fourier ${\displaystyle c_{n}}$ di ${\displaystyle f}$ sono dati da:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx}$

Più in generale, il risultato vale anche se ${\displaystyle f}$ è una funzione quadrato sommabile o appartenente allo spazio L^2[−π,π].

Un risultato simile è il teorema di Plancherel, che afferma che l'integrale del quadrato della trasformata di Fourier di una funzione è uguale all'integrale del quadrato della funzione stessa. In una dimensione, per ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ si ha dunque:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx}$

L'identità

Si consideri uno spazio normato separabile ${\displaystyle H}$, ad esempio uno spazio di Hilbert, e sia ${\displaystyle B=(e_{n})_{n}}$ una base ortonormale rispetto al prodotto interno ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ definito in ${\displaystyle H}$. L'identità di Parseval afferma che per ogni ${\displaystyle x\in H}$:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}}$

dove il prodotto interno ${\displaystyle \langle x,e_{n}\rangle }$ definisce l'n-esimo coefficiente di Fourier di ${\displaystyle x}$ rispetto alla base ${\displaystyle B}$.

Se ${\displaystyle e_{n}}$ è una base soltanto ortogonale:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{n}\left|{\frac {\langle x,e_{n}\rangle }{\langle e_{n},e_{n}\rangle }}\right|^{2}\|e_{n}\|^{2}}$

L'identità è una generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale stabilisce che la somma dei quadrati delle componenti di un vettore in una base ortonormale è pari al quadrato della lunghezza del vettore stesso.

Se ${\displaystyle H}$ coincide con ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ e ${\displaystyle e_{n}=e^{-inx}}$, dove ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, si ritrova il caso della serie di Fourier mostrato sopra con ${\displaystyle e_{n}}$ che è detto sistema trigonometrico. In particolare, la validità dell'identità di Parseval per un determinato ${\displaystyle x\in H}$ garantisce la convergenza della rispettiva serie di Fourier a ${\displaystyle x}$ nella norma di ${\displaystyle H}$, e la validità dell'identità per tutti gli ${\displaystyle x\in H}$ garantisce che ${\displaystyle e_{n}}$ sia un sistema ortonormale completo. Se ${\displaystyle H}$ è uno spazio di Hilbert cioè comporta data una base ortogonale l'identità di Parseval valga per ogni elemento dello spazio.

L'identità di Parseval e la mutua ortogonalità dei sottospazi generati dai vettori ${\displaystyle e_{n}}$ implicano anche che:

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }\langle {}x,e_{n}\rangle {}e_{n}}$

cioè che ogni elemento è la somma della sua serie di Fourier. Il teorema di Parseval per le serie di Fourier ne è un caso particolare.

Spazi prehilbertiani

L'identità di Parseval nella sua veste più generale considera vettori (funzioni) in uno spazio prehilbertiano ${\displaystyle H}$. Se ${\displaystyle B}$ è un insieme ortonormale di ${\displaystyle H}$, detto totale nel senso che lo span lineare di ${\displaystyle B}$ è denso in ${\displaystyle H}$, allora:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{e\in B}\left|\langle x,e\rangle \right|^{2}}$

Nel caso in cui ${\displaystyle B}$ non sia totale l'uguaglianza è sostituita dalla disuguaglianza ${\displaystyle \geq }$ e quindi la conclusione coincide con quella della disuguaglianza di Bessel. La dimostrazione di questa versione generale fa uso del teorema di Riesz-Fischer.

Bibliografia

• (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate

• Disuguaglianza di Bessel
• Serie di Fourier
• Teorema di Parseval
• Teorema di Pitagora
• Teorema di Plancherel
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

• (EN) L.D. Kudryavtsev, Parseval equality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.