Funzione càdlàg

Le funzioni di ripartizione sono un esempio di funzioni càdlàg

In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra; in italiano scritto talvolta cadlag) è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.

Funzioni càdlàg emergono naturalmente come funzioni di ripartizione. Compaiono quindi nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.

Esempi

• Tutte le funzioni continue sono naturalmente càdlàg.
• Tutte le funzioni di ripartizione sono càdlàg.[1]

Spazio di Skorokhod

Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio ${\displaystyle E}$ a valori nello spazio metrico ${\displaystyle M}$ viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con ${\displaystyle D(E;M)}$. Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo ${\displaystyle [0,T]}$ con ${\displaystyle T}$ finito e come codominio lo spazio euclideo reale.

Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni ${\displaystyle F\subseteq E}$, sia

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

l'oscillazione di ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle F}$; per ${\displaystyle \delta >0}$, definiamo allora il modulo càdlàg come

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni ${\displaystyle \Pi }$ dell'intervallo ${\displaystyle E}$ con mesh minore di ${\displaystyle \delta }$. Si può provare che ${\displaystyle f}$ è càdlàg se e solo se ${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )\to 0}$ quando ${\displaystyle \delta \to 0}$.

Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda }\max\{\|\lambda -id_{E}\|_{\infty },\|f-g\circ \lambda \|_{\infty }\}}$,

dove ${\displaystyle id_{E}}$ è l'identità di ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ è la norma uniforme e ${\displaystyle \lambda }$ varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su ${\displaystyle E}$. Si dimostra che effettivamente ${\displaystyle \sigma }$ è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.

Intuitivamente, il termine ${\displaystyle \|\lambda -id_{E}\|_{\infty }}$ misura la "distorsione nel tempo" e il termine ${\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|_{\infty }}$ la "distorsione nello spazio".

Proprietà

Lo spazio ${\displaystyle D(E;M)}$ contiene lo spazio ${\displaystyle C(E;M)}$ delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.

La metrica ${\displaystyle \sigma }$ non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a ${\displaystyle \sigma }$ per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche ${\displaystyle \sigma }$) rende inoltre ${\displaystyle D(E;M)}$ uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.

Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su ${\displaystyle D}$ è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

• ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,}$
• ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$

con la seconda valida per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Note

1. Questo vale se, come largamente in uso, si definisce una funzione di ripartizione mediante la formula ${\displaystyle F(x)=P(x\leq x)}$. La proprietà cade se si definisce ${\displaystyle F(x)=P(X<x)}$, in quanto essa risulta essere una funzione continua a sinistra e con limite finito a destra.

Bibliografia

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

Voci correlate

• Funzione di ripartizione
• Funzione semicontinua
• Processo stocastico
• Anatoliy Skorokhod

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Cadlag Function, su MathWorld, Wolfram Research.