Norma uniforme

Rappresentazione geometrica in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ di ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}$

In analisi matematica, la norma uniforme, norma del sup o norma di Chebyshev di una funzione ${\displaystyle f}$ definita in un dominio ${\displaystyle D}$ a valori reali o complessi è la quantità non negativa:

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in D}\left|f(x)\right|}$

Se ${\displaystyle f}$ non è una funzione limitata in ${\displaystyle D}$, questa quantità risulta infinita (ad esempio per la funzione esponenziale in ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Restringendosi invece allo spazio vettoriale delle funzioni definite in ${\displaystyle D}$ e limitate, ${\displaystyle ||\cdot ||_{\infty }}$ assume sempre valore finito e soddisfa le proprietà di una norma.

Se ${\displaystyle f}$ è una funzione continua su un insieme compatto, allora l'estremo superiore è raggiunto per il teorema di Weierstrass, quindi possiamo sostituire l'estremo superiore con il massimo. In questo caso, la norma è anche chiamata norma del massimo.

In particolare, nel caso di un vettore ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ in uno spazio di dimensione finita, prende la forma:

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,...,|x_{n}|\}}$

La ragione del pedice "∞" è data dal seguente limite, valido se ${\displaystyle f\in L^{\infty }(D)}$ e la misura di ${\displaystyle D}$ è finita:

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty }}$

dove:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$

dove ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ è la norma p (e l'integrale diventa una somma se ${\displaystyle D}$ è un insieme discreto).

La funzione binaria:

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}$

è quindi una metrica nello spazio di tutte le funzioni limitate nel particolare dominio. Una successione ${\displaystyle \{f_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$ converge uniformemente alla funzione ${\displaystyle f}$ se e solo se:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, 1964, p. 151, ISBN 0-07-054235-X.
• (EN) Taylor, A. E. and Lay, D. C. Introduction to Functional Analysis, 2nd ed. New York: Wiley, 1980

Voci correlate

• Distanza di Čebyšëv
• Geometria del taxi
• Norma (matematica)
• Norma operatoriale
• Operatore limitato
• Spazio Lp
• Successione di funzioni
• Topologia operatoriale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Supremum Norm, su MathWorld, Wolfram Research.