Equazione di Fisher (economia)

L'equazione di Fisher in matematica finanziaria e economia stima la relazione tra tasso di inflazione atteso, tasso d'interesse nominale e tasso d'interesse reale.
Questa equazione prende il nome da Irving Fisher famoso per i suoi lavori sulla teoria del tasso di interesse e dei Numeri indici. Simili equazioni esistevano ai tempi di Fisher, ma si deve all'economista statunitense la proposta di un migliore grado di approssimazione, qui di seguito illustrata.

Applicazioni dell'equazione

L'equazione è principalmente usata per calcolare lo Yield to Maturity ovvero il rendimento alla scadenza di un titolo, in presenza di inflazione positiva.

In campo finanziario questa equazione è usata principalmente per il calcolo dei rendimenti delle obbligazioni o il tasso di rendimento di investimenti. In campo economico questa equazione è usata per predire i comportamenti dei tassi nominali e dei tassi reali.

Indicando con r_r il tasso d'interesse reale, con r_n il tasso d'interesse nominale e con π il tasso di inflazione attesa (tutti in composizione semplice) si ha la seguente relazione esatta

${\displaystyle \ 1+r_{r}={\frac {1+r_{n}}{1+\pi }}}$.

Nel limite in cui i tassi di interesse sono piccoli si ottiene la seguente relazione approssimata

${\displaystyle \ r_{n}=r_{r}+\pi }$.

Tale equazione è usata sia per analisi ex ante (prima) o ex post (dopo).

Derivazione

Da

${\displaystyle \ 1+r_{n}=(1+r_{r})(1+\pi )}$

segue

${\displaystyle \ 1+r_{n}=1+r_{r}+\pi +r_{r}\pi }$

e quindi

${\displaystyle \ r_{n}=r_{r}+\pi +r_{r}\pi .}$

Nel limite di tassi piccoli il fattore ${\displaystyle \ r_{r}\pi }$ è trascurabile rispetto ai precedenti, per cui si ottiene il risultato

${\displaystyle \ r_{n}=r_{r}+\pi }$.

Esempio

Considerando il tasso di rendimento del Buono del Tesoro inglese (scadenza 7 marzo 2036 - cedola 4,25%) con Yield to Maturity pari al 3,81% per anno: supponendo di scomporlo in un tasso d'interesse reale del 2% e una inflazione attesa del 1,775% (senza premio per il rischio, essendo i treasury bond considerati privi di rischio), la formula esatta dà:

1,02 x 1,01775 = 1,0381, cioè un tasso nominale del 3,81%

L'equazione di Fisher, invece, porta a calcolare 2% + 1,775% = 3,775% (trascurando l'ulteriore termine aggiuntivo 0,02 * 0,01775 = 0,000355, cioè 0,0355%) e chiamare tasso di interesse nominale tale quantità, asserendo in effetti che 3,775% è quasi uguale a 3,81%.

Al tasso d'interesse nominale del 3.81% per anno, il valore del titolo risulta essere 107,84 £ per un valore nominale di 100 £. Nel caso di "tralascio" del fattore ${\displaystyle r_{r}\pi }$ il prezzo risulta differente per 66 p. La transazione media nel mercato per simili titoli era di 10 milioni di sterline, quindi una differenza di 66 p risulta pari a 66,000 £ per transazione.

Stime empiriche

Miskin[1] ha studiato la relazione tra inflazione e tasso d'interesse. Le modifiche del tasso d'interesse a corto termine non riflettono i cambiamenti del tasso d'inflazione atteso, come proposto dalla teoria dell'effetto di Fisher. A lungo termine l'inflazione e il tasso d'interesse seguono il medesimo trend.

Sun e Phillips[2] trovano che anche a lungo termine l'effetto di Fisher non è valevole. La formula di Fisher può essere sempre utilizzata ex post ma si tratta allora di una definizione del tasso d'interesse reale.

Si concorda oggi che l'equazione di Fisher non è un modello adeguato per spiegare il tasso di interesse nominale.[3] In particolare, non tiene conto del rischio di insolvenza come nel caso dei titoli greci o portoghesi.

Comparando il rendimento di un'obbligazione con tasso d'interesse indicizzato sul tasso d'inflazione con quello di un'obbligazione classica si può dedurre il tasso d'inflazione atteso.[4] Questi risultati rivelano l'esistenza di altri fattori nella determinazione del tasso di interesse.

Note

1. F. Miskin, "Is the Fisher effect for real?: A reexamination of the relationship between inflation and interest rates", Journal of Monetary Economics, 1992, p. 195-215
2. Y. Sun and P. Phillips, " Understanding the Fisher Equation ", Journal of Applied Econometrics, 2004, p. 869-886
3. J. Rust, " Comments on ` Econometric Analysis of Fisher's Equation` ", American Journal of Economics and Sociology, 2005, p. 169-184
4. "5-Year Treasury Inflation-Indexed Security, Constant Maturity" FRED Economic Data chart from government debt auctions (the x-axis at y=0 represents the inflation rate over the life of the security)

Bibliografia

• E. Fama, "Short term Interest Rates as Predictors of Inflation", American Economic Review, 1975, p. 269-282
• I. Fisher, "Appreciation and Interest", Publications of The American Economic Association, 1896, Vol. XI, No. 4, p. 331-442
• I. Fisher, The Rate of Interest, New York, 1907
• Fisher, The Theory of Interest, New York, 1930
• R. Garcia and P. Perron, "An Analysis of the real Rate of Interest Under Regime Shifts", Review of Economics and Statistics, 1996, p. 111-125
• P.Phillips, "Econometric Analysis of Fisher's Equation", American Journal of Economics and Sociology, 2005, p. 125-168

Voci correlate

• Irving Fisher
• Ipotesi di Fisher
• Tasso di interesse
• Tasso d'interesse reale
• Tasso d'interesse nominale
• Tasso di rendimento a termine
• Struttura temporale degli interessi
• Inflazione
• Economia politica