Ellissoide

Rappresentazione di un ellissoide

In geometria, per ellissoide si intende il tipo di quadrica che costituisce l'analogo tridimensionale dell'ellisse nelle due dimensioni.

Definizione

Ellissoide

L'equazione dell'ellissoide standard in un sistema di coordinate cartesiane Oxyz è

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$,

dove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ sono numeri reali fissati tali che ${\displaystyle a\geq b\geq c>0}$. Essi rappresentano i semiassi dell'ellissoide.

Questa definizione permette di individuare la seguente casistica:

• ${\displaystyle a>b>c}$, si ha un ellissoide scaleno;
• Se due di questi parametri sono uguali, l'ellissoide si dice sferoide o ellissoide di rotazione
  • ${\displaystyle a>b=c}$, si ha uno sferoide prolato
  • ${\displaystyle a=b>c}$, si ha uno sferoide oblato
• ${\displaystyle a=b=c}$, si ha una sfera

Si definiscono assi centrali di inerzia gli assi di simmetria dell'ellissoide che formano un sistema di riferimento centrato nel baricentro dell'ellissoide.

Parametrizzazione

Utilizzando le coordinate comuni, dove ${\displaystyle \beta }$ è un punto di latitudine riduzione, o parametrico, e ${\displaystyle \lambda }$ è la sua longitudine planetografica, un ellissoide può essere parametrizzato nel seguente modo:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos(\beta )\cos(\lambda )\\y=b\cos(\beta )\sin(\lambda )\\z=c\sin(\beta );\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq +90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq +180^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}}$

(Si noti che questa non è parametrizzazione 1-1 ai poli, dove ${\displaystyle \scriptstyle {\beta =\pm {90}^{\circ }}}$)

Oppure, utilizzando il sistema di coordinate sferiche, dove ${\displaystyle \theta }$ è la colatitudine, detta anche zenit, e ${\displaystyle \varphi }$ è la longitudine di 360°, detta anche azimuth:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sin(\theta )\cos(\varphi )\\y=b\sin(\theta )\sin(\varphi )\\z=c\cos(\theta )\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}}$

Volume

Il volume di un ellissoide si ottiene semplicemente da quello di una sfera e dall'effetto delle omotetie: ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc.}$

Area superficiale

L'area superficiale, invece, è fornita da espressioni molto più elaborate. Un'espressione esatta è:

${\displaystyle 2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(o\!\varepsilon ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(o\!\varepsilon ,m)\right),}$

dove:

${\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {c}{a}}\right)}$

${\displaystyle \!m:={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin(o\!\varepsilon )^{2}}};}$

mentre ${\displaystyle E(o\!\varepsilon ,m)}$, ${\displaystyle F(o\!\varepsilon ,m)}$ denotano gli integrali ellittici incompleti di primo e secondo genere rispettivamente.

Sono disponibili anche espressioni approssimate:

• ellissoide piatto: ${\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}$
• sferoide prolato: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {o\!\varepsilon }{\sin(o\!\varepsilon )}}\right)}$
• sferoide oblato: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} (\sin(o\!\varepsilon ))}{\sin(o\!\varepsilon )}}\right)}$
• ellissoide scaleno: ${\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}$

Se si utilizza p = 1,6075 si ha un errore relativo al più dell'1,061% (formula di Knud Thomsen); un valore p = 8/5 = 1,6 è ottimale per gli ellissoidi quasi sferici e presenta un errore relativo inferiore all'1,178% (formula di David W. Cantrell).

Manipolazioni lineari

Se si applica una trasformazione lineare invertibile a una sfera, si ottiene un ellissoide; in conseguenza del teorema spettrale questo ellissoide si può ricondurre alla forma standard.

L'intersezione di un ellissoide con un piano può essere o l'insieme vuoto, o un insieme contenente un singolo punto, o un'ellisse.

Dimensioni superiori

Si può anche definire un ellissoide in più di 3 dimensioni, come immagine di un'ipersfera sottoposta a una trasformazione lineare invertibile. Il teorema spettrale garantisce ancora la possibilità di ottenere un'equazione standard della forma

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}+{t^{2} \over d^{2}}=1}$.

Voci correlate

• Paraboloide
• Iperboloide
• Ellissoide di riferimento
• Ellissoide astroidale
• Sfera locale

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) Robert Osserman, ellipsoid, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Ellissoide, su MathWorld, Wolfram Research.