Decisione ottimale

Il termine decisione ottimale è un importante concetto nella teoria delle decisioni e si riferisce alla decisione che porta al miglior risultato fra le alternative disponibili in quel momento. Al fine di paragonare i possibili esiti della scelta, normalmente si procede ad assegnare il grado di utilità relativa ad ogni possibile opzione decisionale; se sussiste un certo grado di incertezza sull'esito, la decisione ottimale massimizza l'utilità attesa, vale a dire il valore medio dell'utilità calcolato su tutti i possibili esiti.

Descrizione

A volte, in situazioni finanziarie, dove l'utilità viene definita in termini di risultato economico, si considera il problema di minimizzare la perdita.

Scelta tra ricchezza e gioventù, Jan Steen (1626 - 1679)

Il termine "utilità", in questo contesto, viene utilizzato in modo arbitrario in riferimento al grado di desiderabilità del risultato e non secondo il suo significato comune. Per esempio, per qualcuno può rappresentare una decisione ottimale acquistare un'auto sportiva invece di una station wagon, anche se il costo relativo è maggiore e la versatilità minore, poiché il criterio di valutazione per la decisione può essere diverso (es. effetto sull'immagine personale).

Il problema dell'identificazione della decisione ottimale è un problema di ottimizzazione. In pratica, poche persone verificano che la loro decisione sia stata quella ottimale, ma utilizzano il metodo euristico per arrivare a decisioni che sono "abbastanza buone", cioè soddisfacenti.

Se la decisione è sufficientemente importante, si può ricorrere ad un approccio più formale, soprattutto per motivare il tempo speso per analizzarla o quando, dato l'alto numero di possibilità decisionali, è troppo complessa per poter giungere alla scelta con un semplice approccio intuitivo.

Formalizzazione matematica

Ogni decisione ${\displaystyle d}$ in un set ${\displaystyle D}$ di decisioni disponibili porterà ad un esito ${\displaystyle o=f(d)}$. Tutti i possibili esiti formano il set ${\displaystyle O}$. Assegnando l'utilità ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ad ogni esito, possiamo definire l'utilità di una certa decisione ${\displaystyle d}$ come: ${\displaystyle U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d))\,}$

Una decisione ottimale ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ è quindi quella che massimizza ${\displaystyle U_{D}(d)}$ :

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d)\,}$

La soluzione del problema può essere perciò divisa in tre passaggi:

1. predizione dell'esito ${\displaystyle o}$ per ogni decisione ${\displaystyle d}$
2. assegnazione dell'utilità ${\displaystyle U_{O}(o)}$ a ogni esito ${\displaystyle o}$
3. identificazione della decisione ${\displaystyle d}$ che massimizza ${\displaystyle U_{D}(d)}$

Incertezza riguardo all'esito

Se non è possibile predire con certezza l'esito di una particolare decisione, è necessario un approccio probabilistico, che si può esprimere, nella maggior parte dei casi, in questo modo:

Per una decisione data ${\displaystyle d}$, conosciamo la distribuzione probabile per i possibili esiti, descritta dalla distribuzione condizionata ${\displaystyle p(o|d)}$. Possiamo ora calcolare l'utilità attesa della decisione ${\displaystyle d}$ come

${\displaystyle U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,}$   dove l'integrale prende il posto dell'intero set ${\displaystyle O}$ (DeGroot, pp 121)

Una decisione ottimale ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ è quindi quella che rende massimo ${\displaystyle U_{D}(d)}$, proprio come mostrato sopra ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d)\,}$

Esempio

Il Problema di Monty Hall.

Bibliografia

• Morris DeGroot Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill. New York. 1970. ISBN 0-07-016242-5.
• James O. Berger Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Second Edition. 1980. Springer Series in Statistics. ISBN 0-387-96098-8.

Voci correlate

• Decisione