Distribuzione condizionata

Date due variabili aleatorie X e Y, la distribuzione condizionata di Y dato X è la probabilità di Y quando è conosciuto il valore assunto da X. A ogni distribuzione condizionata è associato un valore atteso condizionato e una varianza condizionata.

Caso discreto

Nel caso di variabili aleatorie discrete, la distribuzione condizionata di Y dato X=x, è data da:

${\displaystyle p_{Y}(y\mid X=x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}}.}$

È necessario quindi che P(X=x)>0.

Caso continuo

Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità condizionata di Y dato X=x è data da

${\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}},}$

Anche in questo caso, si deve avere che ${\displaystyle f_{X}(x)>0}$.

Indipendenza

Se per due variabili aleatorie X e Y si ha che P(Y = y | X = x) = P(Y = y) per ogni x e y o, nel caso continuo, f_Y(y | X=x) = f_Y(y) per ogni x e y, allora le due variabili sono dette indipendenti.

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