Costante di Mills

Costante di Mills
Simbolo	θ
Valore	1,30637788386308069046861 ... (assumendo l'ipotesi di Riemann) (sequenza A051021 dell'OEIS)
Origine del nome	William H. Mills
Frazione continua	[1; 3, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 2, 35, 21, ...] (assumendo l'ipotesi di Riemann) (sequenza A123561 dell'OEIS)
Campo	numeri reali

In matematica, si definisce costante di Mills il numero reale positivo ${\displaystyle \theta }$ tale che la funzione

${\displaystyle f(n)=\lfloor \theta ^{3^{n}}\rfloor }$

generi numeri primi per ogni n intero positivo, dove ${\displaystyle \lfloor \theta \rfloor }$ indica la funzione parte intera di ${\displaystyle \theta }$. L'esistenza di una costante di questo tipo è stata provata nel 1947 da Mills; il che lo portò ad enunciare il teorema di Mills.

Assumendo l'ipotesi di Riemann, il valore della costante, approssimato a 20 cifre decimali, è

${\displaystyle \theta \approx 1.30637788386308069046...,}$

mentre i numeri primi generati dalla costante di Mills sono

${\displaystyle 2,11,1361,2521008887...}$

(Sequenza A051245 dell'OEIS), e sono chiamati primi di Mills.

Approssimazioni della costante di Mills

Non si conosce una formula chiusa per la costante di Mills, il che ne rende impossibile l'approssimazione a priori. Quel che è possibile fare è determinare la successione dei primi di Mills tramite una stima del valore della costante, e da questi ricavarne un valore maggiormente preciso.

Nel 2005 Chris Caldwell e Yuan-You Cheng [1] trovarono però un metodo per calcolare circa 7000 cifre di ${\displaystyle \theta }$ (assumendo l'ipotesi di Riemann): partendo dalla successione dei primi di Mills (sopra menzionati), ricavati mediante una non definitiva approssimazione della costante, dimostrarono che è possibile calcolare i successivi primi della successione e tramite una generalizzazione del Teorema di Mills, anziché usando la costante di Mills. Calcolati così altri primi di Mills più grandi (${\displaystyle p_{n}}$), è possibile approssimare più precisamente ${\displaystyle \theta }$, tramite la formula:

${\displaystyle \theta =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{3^{n}}]{p_{n}}}.}$

Note

1. Chris Caldwell e Yuanyou Cheng, Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem (PDF), in Journal of Integer Sequences, vol. 8, 2005. URL consultato il 2009.06.23.

Voci correlate

• Teorema di Mills
• Numero primo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Mills' Constant, su MathWorld, Wolfram Research.