Ceviana

In geometria, una ceviana è genericamente un segmento che congiunge un vertice del triangolo al suo lato opposto, o al suo prolungamento; mentre con retta ceviana si intende per estensione la retta su cui giace.

Particolarmente importanti sono le ceviane concorrenti in un unico punto, detto appunto ceviano – le cui condizioni di sufficienza sono dettate dal teorema di Ceva – designando sui lati opposti anche tre punti che sono i vertici del relativo triangolo ceviano il cui circumcerchio è detto cerchio ceviano.

Lunghezza

Un triangolo con una ceviana di lunghezza ${\displaystyle d}$

Teorema di Stewart

La lunghezza di una ceviana può essere calcolata con il teorema di Stewart. Nella figura, la lunghezza della ceviana ${\displaystyle d}$ è data dalla formula:

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Mediana

La ceviana può essere una mediana. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

${\displaystyle m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

oppure

${\displaystyle 2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

da cui

${\displaystyle a=2m.}$

In questo caso

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.}$

Bisettrice

La ceviana può essere una bisettrice. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

${\displaystyle (b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

e[1]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

e

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$

dove ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$ è il semiperimetro.

Il lato di lunghezza ${\displaystyle a}$ è diviso secondo la proporzione ${\displaystyle b:c}$.

Altezza

La ceviana può essere una altezza del triangolo. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

${\displaystyle d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

e

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

dove ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$ è il semiperimetro.

Ceviane concorrenti

O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

Tre ceviane concorrenti individuano un punto ceviano che può essere sia interno che esterno al perimetro del triangolo; nel primo caso anche tutte e tre le ceviane sono interne alla figura, invece quando è esterno solo una rimane interna e lo raggiunge solo se prolungata, mentre le altre due incrociano direttamente il punto e intersecano i prolungamenti dei lati.

O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

È possibile determinare anche la lunghezza delle ceviane concorrenti avendo coordinate trilineari (α, β, γ) del punto di concorrenza, le lunghezze dei rispettivi lati a, b e c i lati del triangolo, attraverso la seguente formula:

${\displaystyle o_{i}={\frac {\sqrt {l_{j}l_{k}[l_{j}l_{k}(\omega _{j}^{2}+\omega _{k}^{2})+\omega _{j}\omega _{k}(l_{j}^{2}+l_{k}^{2}-l_{i}^{2})]}}{l_{j}\omega _{j}+l_{k}\omega _{k}}}}$

dove l_x indica il lato e ω_x la coordinata trilineare relativa del punto.

Il punto di concorrenza inoltre segna sulle tre ceviane tre rapporti r_i tra la sua distanza dal vertice I e il punto di intersezione col lato opposto:

${\displaystyle r_{a}={\frac {AO}{OA'}}}$; ${\displaystyle r_{b}={\frac {BO}{OB'}}}$; ${\displaystyle r_{c}={\frac {CO}{OC'}}}$

Per questi rapporti valgono le seguenti relazioni di somme e prodotto:

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}={\frac {b\beta +c\gamma }{a\alpha }}+{\frac {a\alpha +c\gamma }{b\beta }}+{\frac {a\alpha +b\beta }{c\gamma }}}$

${\displaystyle r_{a}r_{b}r_{c}={\frac {(a\alpha +b\beta )(b\beta +c\gamma )(a\alpha +c\gamma )}{abc\alpha \beta \gamma }}}$

i cui valori sono rispettivamente ≥6 e a ≥8.[2]

Note

1. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
2. Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, Math. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Ceviana, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, Cambridge University Press, 1995 ISBN 978-0-88385-639-0, p. 13 et 137.
• (EN) Vladimir Karapetoff, Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle, American Mathematical Monthly, 36 (1929), 476–9 jstor.