Immagine di un attrattore di Lorenz (nello spazio delle fasi ) generato al computer L'attrattore di Lorenz fu il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento caotico . Venne scoperto da Edward N. Lorenz , del Massachusetts Institute of Technology , nel 1963 .
Descrizione
Semplificando le equazioni del moto alle derivate parziali che descrivono il movimento termico di convezione di un fluido, Lorenz ottenne un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine:
{
x
˙
=
σ
(
y
−
x
)
y
˙
=
ρ
x
−
x
z
−
y
z
˙
=
x
y
−
β
z
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=\sigma (y-x)\\{\dot {y}}&=\rho x-xz-y\\{\dot {z}}&=xy-\beta z\end{cases}}}
dove:
σ
{\displaystyle \sigma }
numero di Prandtl e
ρ
{\displaystyle \rho }
numero di Rayleigh .
σ
{\displaystyle \sigma }
ρ
{\displaystyle \rho }
β
{\displaystyle \beta }
σ
=
10
{\displaystyle \sigma =10}
β
=
8
3
{\displaystyle \beta ={\frac {8}{3}}}
ρ
{\displaystyle \rho }
Sebbene le equazioni, a causa del forte troncamento, descrivano bene il fenomeno di convezione solo per
ρ
≈
1
{\displaystyle \rho \approx 1}
caotico , portando il parametro
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
≠
1
{\displaystyle \rho \neq 1}
∂
(
∇
2
ψ
)
∂
t
=
∂
ψ
∂
z
∂
(
∇
2
ψ
)
∂
x
−
∂
ψ
∂
x
∂
(
∇
2
ψ
)
∂
t
+
ν
∇
2
(
∇
2
ψ
)
+
g
α
∂
θ
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial t}}={\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial t}}+\nu \nabla ^{2}(\nabla ^{2}\psi )+g\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial x}}}
∂
θ
∂
t
=
−
∂
θ
∂
x
∂
ψ
∂
z
+
∂
θ
∂
z
∂
ψ
∂
x
+
k
∇
2
θ
+
Δ
T
H
∂
ψ
∂
x
=
∂
ψ
∂
x
(
∂
θ
∂
z
+
Δ
T
H
)
−
∂
θ
∂
x
∂
ψ
∂
z
+
k
∇
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \theta }{\partial t}}&=-{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}+{\frac {\partial \theta }{\partial z}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+k\nabla ^{2}\theta +{\frac {\Delta T}{H}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\&={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}+{\frac {\Delta T}{H}}\right)-{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}+k\nabla ^{2}\theta \\\end{aligned}}}
dove
g
{\displaystyle g}
accelerazione di gravità ,
α
{\displaystyle \alpha }
coefficiente di dilatazione termica ,
ν
{\displaystyle \nu }
viscosità cinematica ,
κ
{\displaystyle \kappa }
conducibilità termica ,
θ
{\displaystyle \theta }
temperatura , e
Ψ
{\displaystyle \Psi }
funzione di corrente . Le componenti della velocità
u
=
(
u
,
v
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(u,v)}
u
=
∂
Ψ
∂
z
,
w
=
−
∂
Ψ
∂
x
{\displaystyle u={\partial \Psi \over \partial z},w=-{\partial \Psi \over \partial x}}
Oggetti geometrici di questo tipo, rappresentativi del moto di un sistema caotico nello spazio delle fasi, vengono detti attrattori strani
Comportamento caotico delle equazioni di Lorenz: una piccola differenza nelle condizioni iniziali di due sistemi dà luogo a due traiettorie molto diverse. L'attrattore del sistema di Lorenz ha dimensione frattale e ha dimensione di Lyapunov uguale a 2,06.
Bibliografia
Edward Norton Lorenz , Deterministic Nonperiodic Flow , in J. Atmos. Sci. , vol. 20, 1963, pp. 130-141.
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