Reguláris gráf

Gráfcsaládok automorfizmusukkal meghatározva
távolságtranzitív	${\displaystyle {\boldsymbol {\rightarrow }}}$	távolságreguláris	${\displaystyle {\boldsymbol {\leftarrow }}}$	erősen reguláris
${\displaystyle {\boldsymbol {\downarrow }}}$
szimmetrikus	${\displaystyle {\boldsymbol {\leftarrow }}}$	t-tranzitív, t ≥ 2		ferdeszimmetrikus
${\displaystyle {\boldsymbol {\downarrow }}}$
(ha összefüggő) csúcs- és éltranzitív	${\displaystyle {\boldsymbol {\rightarrow }}}$	éltranzitív és reguláris	${\displaystyle {\boldsymbol {\rightarrow }}}$	éltranzitív
${\displaystyle {\boldsymbol {\downarrow }}}$		${\displaystyle {\boldsymbol {\downarrow }}}$		${\displaystyle {\boldsymbol {\downarrow }}}$
csúcstranzitív	${\displaystyle {\boldsymbol {\rightarrow }}}$	reguláris	${\displaystyle {\boldsymbol {\rightarrow }}}$	(ha páros) bireguláris
${\displaystyle {\boldsymbol {\uparrow }}}$
Cayley-gráf	${\displaystyle {\boldsymbol {\leftarrow }}}$	zérószimmetrikus		aszimmetrikus

Egy gráf reguláris, ha minden csúcsának ugyanannyi szomszédja van, más szóval minden csúcs fokszáma azonos. A közös fokszámot k-val jelölve beszélhetünk k-reguláris gráfról is. A reguláris irányított gráfnak meg kell felelnie annak az erősebb feltételnek is, hogy az egyes csúcsba bemenő élek és kimenő élek száma egyenlő legyen egymással.[1]

Egy erősen reguláris gráf egy olyan reguláris gráf, ahol a szomszédok száma megegyezik minden csúcsnál, de két összekötött csúcs közös szomszédjainak a száma és két nem-összekötött csúcs közös szomszédainak száma is független a két pont választásától.

A kézfogás-lemma szerint minden véges irányítatlan gráf páros darab páratlan fokszámú csúccsal rendelkezik.

A Nash-Williams-tétel szerint minden ${\displaystyle 2k+1}$ csúcsú k-reguláris gráfban van Hamilton-kör.

Egzisztencia

Akkor és csak akkor létezik n csúcsú ${\displaystyle k}$-reguláris gráf, ha , ha ${\displaystyle n\geq k+1}$ és ${\displaystyle nk}$ páros. Ebben az esetben egy ilyen reguláris gráf könnyen megkonstruálható megfelelően paraméterezett cirkuláns gráfként.^[forrás?]

Osztályozás

A legfeljebb 2-reguláris gráfok egyszerűen osztályozhatóak.

• A 0-reguláris gráfok nem tartalmaznak éleket, ezek az üres gráfok.
• Az 1-reguláris gráfok egy-egy éllel összekötött csúcspárokat tartalmaznak.
• A 2-reguláris gráfok csúcsidegen körökből állnak.
• A 3-reguláris gráfokat angol nyelvterületen cubic graph-nak nevezik.

• 
  0-reguláris gráf
• 
  1-reguláris gráf
• 
  2-reguláris gráf
• 
  3-reguláris gráf

Algebrai tulajdonságok

Legyen A egy gráf szomszédsági mátrixa.

A gráf akkor és csak akkor reguláris, ha ${\displaystyle {\textbf {j}}=(1,\dots ,1)}$ sajátvektora A-nak.[2] Ekkor a sajátérték k. A többi sajátértéknek megfelelő sajátvektorok merőlegesek ${\displaystyle {\textbf {j}}}$-re, tehát az ilyen sajátvektorok koordinátáinak összege nulla.

Egy k-reguláris gráf csak akkor összefüggő, ha k egyszeres sajátértéke. A "csak akkor" meghatározás a Perron–Frobenius-tétel következménye.[2]

Van egy másik kritérium a reguláris és összefüggő gráfokra: egy gráf pontosan akkor reguláris és összefüggő, ha az

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\cdots &1\\\vdots &\ddots &\vdots \\1&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

mátrix eleme A szomszédsági algebrájának, azaz előáll A hatványainak lineáris kombinációjaként.[3]

Legyen G k- reguláris gráf, D átmérővel és ${\displaystyle k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}}$ sajátértékekkel. Ha G nem páros gráf, akkor

${\displaystyle D\leq {\frac {\log {(n-1)}}{\log(\lambda _{0}/\lambda _{1})}}+1.}$

Példák

• Minden teljes gráf (erősen) reguláris.
• Minden hiperkockagráf reguláris.
• Az egyenlő nagyságú osztályokkal rendelkező teljes páros gráfok regulárisak.
• Minden gyűrűs kocka 3-reguláris.
• A legkisebb reguláris, de nem erősen reguláris gráf a ciklusgráf és a hatcsúcsú körkörös gráf.

Generálás

Létezik gyors algoritmus az adott fokszámú és csúcsszámú reguláris gráfok izomorfizmus erejéig való felsorolására.[4]

Jegyzetek

1. Chen, Wai-Kai. Graph Theory and its Engineering Applications. World Scientific, 29. o. (1997). ISBN 978-981-02-1859-1 
2. Cvetković, D. M.; Doob, M.; and Sachs, H. Spectra of Graphs: Theory and Applications, 3rd rev. enl. ed. New York: Wiley, 1998.
3. Curtin, Brian (2005), "Algebraic characterizations of graph regularity conditions", Designs, Codes and Cryptography 34 (2-3): 241–248, DOI 10.1007/s10623-004-4857-4.
4. Meringer (1999). „Fast generation of regular graphs and construction of cages”. Journal of Graph Theory 30 (2), 137–146. o. DOI:<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G 10.1002/(SICI)1097-0118(199902)30:2<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G. 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Regular graph című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Erősen reguláris gráf
• Cage (gráfelmélet)

További információk

• • Weisstein, Eric W.: Regular Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • Weisstein, Eric W.: Strongly Regular Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • GenReg software and data by Markus Meringer.
  • Nash-Williams, Crispin (1969), Valency Sequences which force graphs to have Hamiltonian Circuits, University of Waterloo Research Report, Waterloo, Ontario: University of Waterloo