Négyzetgyök 3

A √3 kiszerkesztése hatszögben

A √3 kockában

A négyzetgyök három az a pozitív szám, amelynek négyzete 3, jele ${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$

A szám egy irracionális szám, tehát tizedes törtként felírva nem szakaszos, végtelen tört; az első néhány számjegye: 1,73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580...

Irracionális voltának bizonyítása

Tételezzük fel, hogy √3 racionális. Ebben az esetben felírható ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ formában, ahol n és m természetes szám és a tört irreducibilis (tovább már nem egyszerűsíthető). Mivel a feltételezésből adódik: ${\displaystyle m^{2}=3n^{2}}$, az előző egyenlet átírható: ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {3n-m}{m-n}}}$, ami ellentmondás, hiszen ennek a törtnek a nevezője kisebb, mint az ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ törté, márpedig az irreducibilis volt. (m – n < n, mert m < 2n, hiszen m = √3n < 1,8n.)

Értéke

Kettes számrendszerben: 1,1011101101100111101...

Tízes számrendszerben: 1,732050807568877...

Tizenhatos számrendszerben: 1,BB67AE8584CAA73B...

Közelítése lánctörttel: ${\displaystyle 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}$

Kifejezése szögfüggvényekkel

A ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ több nevezetes szög szögfüggvényeinek értékében is megjelenik.

• ${\displaystyle {\sqrt {3}}=(4\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{12}})-2}$
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}=\operatorname {tg} {\tfrac {\pi }{3}}}$

Alkalmazása

3 fázisú feszültségrendszer

• A háromdimenziós kocka testátlójának és élének aránya.
• Szabályos hatszög egymással szemközti oldalainak távolsága és a hatszög oldalának aránya.
• Az egyenlő oldalú háromszög magasságának és oldalának aránya ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$.
• Háromfázisú elektromos rendszerekben a vonali és a fázisfeszültség aránya √3.

Kapcsolódó szócikkek

Négyzetgyök 2

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Square root of 3 című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wurzel 3 című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Raíz cuadrada de 3 című spanyol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.