Háromszög magassága

A háromszög magasságpontja

A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük.

Magasságpont

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont.

Bizonyítás:

Az ${\displaystyle ABC}$ háromszögben az ${\displaystyle A}$ csúcshoz tartozó magasság ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle B}$-hez tartozó pedig ${\displaystyle m_{b}}$. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új ${\displaystyle A'B'C'}$ háromszöget kapunk, amiben ${\displaystyle ABCB'}$, ${\displaystyle AC'BC}$, ${\displaystyle ABA'C}$ négyszögek paralelogrammák. Az eredeti ${\displaystyle ABC}$ háromszög oldalai az ${\displaystyle A'B'C'}$ háromszög középvonalai, mivel ${\displaystyle B'C'}$ felezőpontja ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'C'}$ felezőpontja ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle A'B'}$ felezőpontja pedig ${\displaystyle C}$. ${\displaystyle A'B'C'}$ háromszög származtatása miatt ${\displaystyle m_{c}}$ az ${\displaystyle A'B'}$ oldalfelező merőlegese, ${\displaystyle m_{b}}$ az ${\displaystyle A'C'}$ felezőmerőlegese, ${\displaystyle m_{a}}$ pedig ${\displaystyle B'C'}$-nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

A magasságpont tulajdonságai

• A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen
• A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek
• Baricentrikus koordinátái: ${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha \,:\,\mathrm {tg} \beta \,:\,\mathrm {tg} \gamma }$
• Trilineáris koordinátái: ${\displaystyle \sec \alpha \,:\,\sec \beta \,:\,\sec \gamma }$
• A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára:

AM·MT_a=BM·MT_b=CM·MT_c

Magasság talppontja és talpponti háromszög

Talpponti háromszög

A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.

A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének hozzáírt körének a középpontja (a háromszög leghosszabb oldalából származó oldalhoz írva), ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.

A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

Magasságtétel

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis ${\displaystyle m={\sqrt {p\ q}}}$.

Bizonyítás:

Legyen az ${\displaystyle ABC}$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az ${\displaystyle ATC\bigtriangleup \sim CTB\bigtriangleup }$ (${\displaystyle \alpha }$ szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis ${\displaystyle {\frac {q}{m}}={\frac {m}{p}}}$, ami ekvivalens az állítással.

Befogótétel

Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz ${\displaystyle b={\sqrt {q\ c}}}$.

Bizonyítás:

Legyen az ${\displaystyle ABC}$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának talppontja T. Az ${\displaystyle ABC\bigtriangleup \sim ACT\bigtriangleup }$ (${\displaystyle \alpha }$ szög közös, derékszögek, az egyik oldal megegyezik). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: ${\displaystyle {\frac {b}{q}}={\frac {c}{b}}}$, ami éppen a tételben szereplő azonosság.

Lásd még

• Általános magasságtétel

Források

• Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal
• Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 184-185. és 198-199. oldal.
• Reiman István: Geometria és határterületei
• H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.50