Transgression (mathématiques)

La transgression, en mathématiques, est un outil de la théorie de l'homologie, permettant de transférer les classes de cohomologie d’un espace à un autre même en l’absence de morphisme entre eux. Elle intervient, par exemple, dans la suite exacte de restriction-inflation en cohomologie des groupes et dans l'intégration le long des fibres d’un espace fibré. Elle apparaît aussi naturellement dans l’étude de la suite spectrale d'un groupe différentiel à filtration croissante.

Suite exacte de restriction-inflation

La transgression apparait dans l'étude de la suite exacte de restriction-inflation, qui est une suite exacte en cohomologie des groupes.

Soit G un groupe, N un sous-groupe normal, et A un groupe abélien sur lequel G opère ; c'est-à-dire qu’il existe un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de A. Le groupe quotient G/N agit alors sur A^N = { a ∈ A | ga = a pour tout g ∈ N}. La suite exacte de restriction-inflation est :

0 → H^1(G/N, A^N) → H^1(G, A) → H^1(N, A)^G/N → H^2(G/N, A^N) → H^2(G, A).

La transgression est l'application H^1(N, A)^G/N → H^2(G/N, A^N).

La transgression n'est définie pour un n donné supérieur à 1 :

H^n(N, A)^G/N → H^n+1(G/N, A^N)

que si H^i(N, A)^G/N = 0 pour i ≤ n – 1[1].

Notes et références

1. Gille et Szamuely 2006, p. 67.

Bibliographie

• (en) Philippe Gille et Tamás Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 101), 2006, 343 p. (ISBN 0-521-86103-9, zbMATH 1137.12001)
• (en) Michiel Hazewinkel, Handbook of Algebra, vol. 1, Elsevier, 1995 (ISBN 0-444-82212-7), p. 282
• (en) Helmut Koch, Algebraic Number Theory, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Encycl. Math. Sci. » (n^o 62), 1997, 2^e impression de la 1^re éd., 269 p. (ISBN 3-540-63003-1, zbMATH 0819.11044)
• (en) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt et Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, Springer-Verlag, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 323), 2008, 2^e éd., 826 p. (ISBN 978-3-540-37888-4 et 3-540-37888-X, zbMATH 1136.11001, lire en ligne), p. 112-113
• (en) Peter Schmid, The Solution of the K(GV) Problem, Imperial College Press, coll. « Advanced Texts in Mathematics » (n^o 4), 2007 (ISBN 978-1-86094-970-8 et 1-86094-970-3), p. 214
• (en) Jean-Pierre Serre (trad. du français par Jay Greenberg), Local Fields [« Corps locaux »], New York/Heildeberg/Berlin, Springer-Verlag, coll. « GTM » (n^o 67), 1979, 241 p. [détail des éditions] (ISBN 0-387-90424-7, zbMATH 0423.12016), p. 117-118