Théorème du point fixe de Caristi

Le théorème du point fixe de Caristi[1] — ou de Caristi–Kirk (en) — est un théorème de topologie générale qui étend le théorème du point fixe de Banach-Picard, en garantissant l'existence de points fixes pour une plus large classe d'applications d'un espace métrique complet dans lui-même. Il est équivalent à une forme faible du principe variationnel d'Ekeland.

Énoncé

Soient (X, d) un espace métrique complet non vide et T une application de X dans X (non nécessairement continue). Pour que T admette un point fixe, il suffit[2],[3] qu'il existe une application semi-continue inférieurement f : X → [0, +∞[ telle que pour tout point x de X, d(x, T(x)) ≤ f(x) – f(T(x)).

Généralisation aux multifonctions

Pour qu'une multifonction Γ de X dans X, à valeurs non vides, admette un point fixe — c'est-à-dire un point x appartenant à Γ(x) — il suffit qu'il existe une application semi-continue inférieurement f : X → [0, +∞], non constamment égale à +∞, telle que pour tout couple (x, y) du graphe de Γ, f(y) ≤ f(x) – d(x, y)[4].

Démonstrations

Montrons l'équivalence[4] entre les deux énoncés ci-dessus et la forme faible suivante du principe d'Ekeland : pour tout espace complet X et toute application semi-continue inférieurement f : X → [0, +∞] non constamment égale à +∞, il existe un point x de X tel que f(x) ≤ 1 + inf(f(X)) et tel que, pour tout point y de X distinct de x, f(y) > f(x) – d(x, y).

• Preuve du théorème de Caristi pour les multifonctions, à partir du principe faible d'Ekeland : soient Γ et f comme dans la généralisation ci-dessus, et x un point de X fourni par le principe faible. Alors Γ(x) ne contient aucun point distinct de x. Puisqu'il est non vide, il contient x, qui est donc fixe.
• Preuve par l'absurde (et à l'aide de l'axiome du choix) du principe faible d'Ekeland, à partir du théorème de Caristi pour les fonctions : si ce principe n'était pas vérifié, il existerait un espace complet X et une application f : X → [0, +∞], semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞, tels que pour tout x de X vérifiant f(x) ≤ 1 + inf(f(X)), il existe y_x ≠ x vérifiant f(y_x) ≤ f(x) – d(x, y_x). Le sous-espace (non vide) F des x tels que f(x) ≤ 1 + inf(f(X)) serait alors fermé donc complet, et l'application T : F → F définie par T(x) = y_x serait un contre-exemple au théorème de Caristi.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Caristi fixed-point theorem » (voir la liste des auteurs).

1. (en) James Caristi, « Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 215,‎ 1976, p. 241-251 (lire en ligne).
2. (en) Kazimierz Goebel (pl) et William A. Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, CUP, 1990, 244 p. (ISBN 978-0-521-38289-2, lire en ligne), chap. 2 (« Banach's Contraction Principle »), p. 13.
3. (en) Efe A. Ok, Real Analysis with Economics Applications, PUP, 2011, 832 p. (ISBN 978-1-4008-4089-2, lire en ligne), « Caristi's Fixed Point Theorem », p. 238-239.
4. (en) George Isac, Vladimir A. Bulavsky et Vyacheslav V. Kalashnikov, Complementarity, Equilibrium, Efficiency and Economics, Springer, 2002, 445 p. (ISBN 978-1-4020-0688-3, lire en ligne), « 13, § 5 », p. 407.