Principe variationnel d'Ekeland

Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland[1],[2],[3], qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation.

Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet.

Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi[4]. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).

Énoncé

Soient :

• (X, d) un espace métrique complet,
• f : X → [0, +∞] une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞,
• ε un réel strictement positif et
• x un point de X tel que f(x) ≤ ε + inf(f(X)).

Alors, pour tout δ > 0, il existe un point y de X tel que :

• ${\displaystyle f(y)\leq f(x),}$
• ${\displaystyle d(x,y)\leq \delta {\text{ et}}}$
• ${\displaystyle \forall z\in X\setminus \{y\}\quad f(z)>f(y)-{\varepsilon \over \delta }d(y,z).}$

Variantes

L'énoncé usuel ci-dessus équivaut à son cas particulier ε = δ = 1 (en remplaçant f par f/ε et d par d/δ), ainsi qu'aux quatre variantes suivantes. Il est commode, pour formuler et démontrer tous ces théorèmes, d'associer à f le préordre[5] ≼ défini par : u ≼ v ⇔ f(u) + d(u, v) ≤ f(v).

Soient (X, d) un espace métrique complet et f : X → [0, +∞] une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞.

1. Tout point de X possède un ≼-minorant ≼-minimal[6],[7],[8].
2. Tout point de X dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)) possède un ≼-minorant ≼-minimal[9].
3. « Forme faible[10] » — Il existe dans X un élément ≼-minimal dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)).
4. Il existe dans X un élément ≼-minimal.

Démonstrations

Dans les variantes ci-dessus, on a évidemment 1 ⇒ 2, 3 ⇒ 4 et, en notant 2½ la version ε = δ = 1 de l'énoncé usuel, 2 ⇒ 2½ et 2½ ⇒ 3.

• Preuve de 1[6] : à partir de y₀ = x, on définit par récurrence une suite (y_n), en notant F_n l'ensemble des ≼-minorants de y_n et en choisissant dans F_n un point y_n+1 tel que f(y_n+1) ≤ 1/(n + 1) + inf(f(F_n)). L'unique point y commun aux fermés F_n est alors solution.
• 4 ⇒ 1, en changeant d'espace : le sous-espace des ≼-minorants d'un point arbitraire de X est fermé donc complet.
• Si X vérifie 3 (ou même seulement 4) pour toute application f comme dans l'énoncé, alors il est complet[11],[6] : soit (y_n) une suite de Cauchy dans X. L'application f définie sur X par f(x) = 2 lim_n→∞ d(y_n, x) est uniformément continue. Soit y minimal pour l'ordre ≼ associé à f. Pour tout entier naturel m, f(y_m) + d(y_m, y) ≥ f(y) donc par passage à la limite, 0 + f(y)/2 ≥ f(y), par conséquent f(y) = 0, autrement dit (y_n) converge vers y.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ekeland's variational principle » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Ivar Ekeland, « On the variational principle », J. Math. Anal. Appl., vol. 47, n^o 2,‎ 1974, p. 324-353 (lire en ligne).
2. (en) Ivar Ekeland, « Nonconvex minimization problems », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 1, n^o 3,‎ 1979, p. 443-474 (lire en ligne).
3. (en) Ivar Ekeland et Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM, 1999 (1^re éd. 1976), 402 p. (ISBN 0-89871-450-8, MR 1727362, lire en ligne), p. 357-373.
4. (en) Efe A. Ok, Real Analysis with Economics Applications, PUP, 2007, 802 p. (ISBN 978-0-691-11768-3, lire en ligne), « Addenda: The Ekeland Variational Principle », p. 664.
5. Sur l'ensemble des points où f est à valeurs finies, c'est un ordre.
6. (en) Osman Güler, Foundations of Optimization, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 258), 2010 (ISBN 978-0-387-68407-9, lire en ligne), chap. 3, § 1 (« Ekeland's ϵ-Variational Principle »), p. 61-64.
7. (en) Georgiana Goga, « Some equivalent geometrical results with Ekeland's variational principle », An. Şt. Univ. Ovidius Constanța, vol. 13, n^o 1,‎ 2005, p. 79-88 (lire en ligne), Theorem 2.2.
8. (en) Jonathan M. Borwein et Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, New York, Springer, 2006 (ISBN 978-0-387-28271-8, lire en ligne), chap. 2, § 1 (« Ekeland Variational Principles »), p. 6-7, Theorem 2.1.1.
9. Borwein et Zhu 2006, Theorem 2.1.1.
10. (en) George Isac, Vladimir A. Bulavsky et Vyacheslav V. Kalashnikov, Complementarity, Equilibrium, Efficiency and Economics, Springer, 2002, 445 p. (ISBN 978-1-4020-0688-3, lire en ligne), « 13, § 5 », p. 407.
11. (en) J. D. Weston, « A characterization of metric completeness », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 64, n^o 1,‎ 1977, p. 186-188 (lire en ligne).

Article connexe

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