Théorème de l'image ouverte

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l'image ouverte affirme que les fonctions holomorphes non constantes sont ouvertes.

Énoncé

Soit U un ouvert connexe[1] du plan complexe C et f : U → C une fonction holomorphe non constante ; alors f est une application ouverte, c'est-à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de U vers des ouverts de C.

Démonstration

Les points bleus représentent les zéros de g(z). Les pics noirs sont les pôles. La ligne pointillée est la frontière de l'ouvert U (remarquez que tous les pôles sont extérieurs à U). Le petit cercle rouge est la frontière du disque B mentionné par la démonstration.

Nous voulons montrer que tout point de f(U) est intérieur, autrement dit est contenu dans un disque inclus dans f(U). Soit w₀ = f(z₀) un point arbitraire de f(U) (avec z₀ dans U). U étant ouvert, il existe d > 0 tel que B, le disque fermé de centre z₀ et de rayon d, soit inclus dans U. f étant non constante sur U et U étant connexe, f est non constante sur B[2]. La fonction g(z) = f(z) – w₀ est analytique non constante, et admet z₀ comme racine ; d'après le principe des zéros isolés, nous pouvons donc choisir d pour que g n'ait pas d'autres racines dans B. Soit alors e le minimum de |g(z)| pour z sur le cercle frontière de B[3], et soit D le disque de centre w₀ et de rayon e. D'après le théorème de Rouché, la fonction g(z) = f(z) – w₀ a le même nombre de racines (comptées avec multiplicités) dans B que f(z) – w pour tout w à une distance strictement inférieure à e de w₀. Ainsi, pour chaque w dans D, il existe au moins un z₁ dans B tel que f(z₁) = w. Le disque D est donc contenu dans f(B), sous-ensemble de f(U) ; w₀ est donc un point intérieur de f(U).

Il est également possible[4] de démontrer ce théorème sans théorie de l'intégration, à partir du théorème du point fixe de Brouwer, ou plus simplement encore à partir du théorème du point fixe de Banach/Picard.

Remarques

Ce théorème est un exemple des importantes différences entre les applications holomorphes et les fonctions R-différentiables de C vers C : la fonction de variable complexe z ↦ z z est R-différentiable et de classe C^∞, mais n'est clairement pas ouverte. Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R puisque son image est l'intervalle fermé [0, +∞[. De même, il n'y a pas d'équivalent pour les fonctions de variable réelle.

Généralisation à plusieurs variables

Le théorème de l'image ouverte reste valable pour les fonctions holomorphes à plusieurs variables : on remplace simplement dans l'énoncé U par un ouvert connexe de C^n. La preuve[5] consiste à se ramener au cas d'une variable en traçant la droite (complexe) passant par deux points ayant des valeurs différentes par f.

Applications

• Le théorème fondamental de l'algèbre se déduit directement du théorème de l'application ouverte[4] : d'après le théorème de l'application ouverte, l'image ${\displaystyle P(\mathbb {C} )}$ de tout polynôme ${\displaystyle P}$ non constant est un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ; il ne reste plus qu'à montrer que ${\displaystyle P(\mathbb {C} )}$ est un fermé de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, et la connexité de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ permettra de conclure que ${\displaystyle P(\mathbb {C} )=\mathbb {C} }$, et donc que ${\displaystyle 0\in P(\mathbb {C} )}$.

• Le principe du maximum des fonctions holomorphes peut se déduire aisément du théorème de l'application ouverte. En effet, si f : U → C est une application holomorphe non constante sur un ouvert connexe U de C^n, alors pour tout point z₀ de U, l'image par f de tout voisinage ouvert de z₀ est un voisinage ouvert W de f(z₀) dans C. De par la topologie de C, |f(z₀)| n'est pas un maximum de l'ensemble des |w| pour w parcourant W. Donc |f(z₀)| n'est pas un maximum local. Le même raisonnement tient pour Re(f(z)) à la place de |f(z)|.

Notes

1. L'hypothèse de connexité est nécessaire. En effet, si U n'est pas connexe, une fonction constante sur une composante connexe et non constante sur les autres composantes n'est pas globalement constante, et elle n'est pas ouverte.
2. D'après les propriétés des fonctions analytiques, par exemple par unicité du prolongement analytique.
3. e existe et est strictement positif, car cette fonction est continue et la frontière de B est compacte.
4. (en) Daniel Reem, « The open mapping theorem and the fundamental theorem of algebra », Fixed point theory 9 (2008),‎ 25 juillet 2011 (lire en ligne)
5. Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983, Theorem 6.3

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Open mapping theorem (complex analysis) » (voir la liste des auteurs).
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]