Théorème de comparaison

En mathématiques, les théorèmes de comparaison sont des théorèmes dont l'énoncé implique des comparaisons entre différents objets du même type, et que l'on trouve souvent dans des domaines tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles et la géométrie riemannienne.

Équations différentielles

Dans la théorie des équations différentielles, les théorèmes de comparaison donnent des propriétés particulières des solutions d'une équation différentielle (ou d'un système différentiel), à condition qu'une égalité, une inégalité ou un système auxiliaire possède une certaine propriété[1],[2].

Exemples :

• inégalité de Chaplygin[3] ;
• inégalité de Grönwall, ainsi que ses diverses généralisations, qui fournit un principe de comparaison pour les solutions des équations différentielles ordinaires du premier ordre ;
• théorème de comparaison de Sturm-Picone ;
• théorème de comparaison utilisé par Aronson et Weinberger pour caractériser les solutions de l'équation de Fisher (en), une équation de réaction-diffusion ;
• théorème de comparaison de Hille-Wintner.

Géométrie riemannienne

En géométrie riemannienne, c'est un nom traditionnel pour un certain nombre de théorèmes qui comparent diverses métriques et fournissent diverses estimations[4].

Exemples :

• théorème de comparaison de Rauch (en), qui relie la courbure sectionnelle d'une variété riemannienne à la vitesse à laquelle ses géodésiques se séparent ;
• théorème de comparaison de Toponogov ;
• théorème de Myers ;
• théorème de comparaison de la hessienne ;
• théorème de comparaison du laplacien ;
• théorème de comparaison de Morse-Schönberg ;
• théorème de comparaison de Berger, théorème de comparaison de Rauch-Berger[5] ;
• théorème de comparaison de Berger-Kazdan (en)[6] ;
• théorème de comparaison de Warner pour les longueurs des N-champs de Jacobi (N étant une sous-variété d'une variété riemannienne complète)[7] ;
• inégalité de Bishop-Gromov (en), dont l'hypothèse est une minoration des courbures de Ricci[8] ;
• théorème de comparaison de Lichnerowicz ;
• théorème de comparaison des valeurs propres :
  • théorème de comparaison des valeurs propres de Cheng (en) ;
• voir aussi : triangle de comparaison (en).

Autres domaines

Exemples :

• règle de comparaison des séries, sur la convergence des séries ;
• règle de comparaison des intégrales, sur la convergence des intégrales ;
• théorème de comparaison de Zeeman (en), un outil technique issu de la théorie des suites spectrales.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Comparison theorem » (voir la liste des auteurs).

1. (en) « Comparison theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
2. Un mot clé connexe, qui mériterait un article : le principe de comparaison de Lyapounov.
3. (en) « Differential inequality », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
4. Jeff Cheeger et David Gregory Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geometry, North Holland, coll. « North-Holland Mathematical Library » (n^o 9), 1975, viii+174 p. (MR 458335).
5. Marcel Berger, « An Extension of Rauch's Metric Comparison Theorem and some Applications », Illinois Journal of Mathematics, vol. 6,‎ 1962, p. 700-712.
6. (en) Eric W. Weisstein, « Berger-Kazdan Comparison Theorem », sur MathWorld
7. F. W. Warner, « Extensions of the Rauch Comparison Theorem to Submanifolds », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 122, n^o 2,‎ 1966, p. 341-356 (DOI 10.2307/1994552, JSTOR 1994552).
8. Richard L. Bishop et Richard J. Crittenden, Geometry of manifolds, vol. 344, AMS Chelsea Publishing, 1964, 273 p. (ISBN 978-0-8218-2923-3, présentation en ligne).