Théorème de Montel

En analyse complexe, il existe deux théorèmes portant le nom de Paul Montel, donnant tous deux des conditions pour qu'une famille de fonctions holomorphes soit normale.

Caractérisation des familles normales

Soit ${\displaystyle U}$ un ouvert du plan complexe. On note ${\displaystyle H(U)}$ l'ensemble des fonctions holomorphes de ${\displaystyle U}$ dans le plan complexe. Paul Montel a démontré le résultat suivant[1] :

Une partie de ${\displaystyle H(U)}$ est normale si et seulement si elle est bornée sur tout compact de ${\displaystyle U}$.

Autrement dit, les compacts de ${\displaystyle H(U)}$ sont les fermés bornés ; on dit aussi que ${\displaystyle H(U)}$ est un espace de Montel.

Ce théorème se démontre à l'aide du théorème d'Arzela-Ascoli[2].

Famille évitant deux valeurs

Une version plus forte du théorème de Montel, appelée parfois le test fondamental de normalité (en) est l'énoncé suivant[3] :

Soit ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset H(U)}$ une famille de fonctions holomorphes. Si ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ évite deux valeurs, c'est-à-dire qu'il existe ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ distincts tels que pour tout ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$, on a ${\displaystyle a,b\notin f(U)}$, alors ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est une famille normale de ${\displaystyle H(U)}$.

Ce théorème a joué un rôle crucial dans le développement de la dynamique holomorphe par Pierre Fatou et Gaston Julia[4].

Il permet également de démontrer les théorèmes de Picard[5].

Notes et références

1. Paul Montel, Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications, Paris, Gauthier-Villars, 1927, p. 21.
2. Christine Laurent-Thiébaut, Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables, EDP Sciences, 1997, 244 p. (ISBN 978-2-86883-379-2, lire en ligne), p. 11.
3. Montel 1927, p. 61
4. Michèle Audin, Fatou, Julia, Montel: Le grand prix des sciences mathématiques de 1918, et après..., Springer, 2009 (ISBN 978-3-642-00445-2).
5. Montel 1927, chap. 3