Théorème de Kürschák

En arithmétique, le théorème de Kürschák, dû à József Kürschák, énonce que les tranches de la série harmonique ne sont jamais entières, sauf si on ne considère que le premier terme.

Énoncé

Théorème de Kürschák — Si m et n sont deux entiers tels que 0 < m ≤ n, alors ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\frac {1}{i}}}$ est un entier (si et) seulement si m = n = 1[1],[2].

Démonstration

Il est clair que pour m = n = 1, on obtient une valeur entière. Supposons maintenant n ≥ 2. Si m = n, le problème est résolu puisque 1/n n'est pas entier. Supposons donc m < n et notons 2^r la plus grande puissance entière de 2 divisant au moins un entier compris (au sens large) entre m et n. On a r ≥ 1, car il y a au moins un entier pair entre m et n. En fait, 2^r divise un unique entier compris entre m et n. En effet, s'il existait k = 2^r(2s + 1) < k' = 2^r(2t + 1) compris entre m et n, alors 2^r(2s + 2) = 2^r + 1(s + 1) serait compris entre m et n, ce qui contredirait la définition de r.

On en conclut que ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\frac {1}{i}}}$ s'écrit sous la forme ${\displaystyle {\frac {A}{2^{r}B}}}$, où ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont impairs (${\displaystyle 2^{r}B}$ étant le PPCM des m, …, n), donc que cette somme n'est pas entière.

Historique

Une version affaiblie de ce résultat, correspondant au cas où m = 1, a été prouvée en 1915 par Taeisinger. Kürschák a ensuite traité le cas général en 1918[1].

Généralisation

En 1932, Paul Erdős généralise ce résultat aux suites harmoniques quelconques[1].

Notes et références

1. Exercices de mathématiques, oraux x-ens : algèbre 1, Paris, Cassini, 2007, 371 p. (ISBN 978-2-84225-132-1), p. 138.
2. (en) Eric W. Weisstein, « Harmonic Number », sur MathWorld.