Courbe représentative de la fonction artanh .La tangente hyperbolique réciproque est, en mathématiques , une fonction hyperbolique . C'est la réciproque de la fonction tangente hyperbolique .
La fonction tangente hyperbolique réciproque, ou argument tangente hyperbolique [ 1] artanh [ 2] argth ),
artanh
:
]
−
1
,
+
1
[
→
R
{\displaystyle \operatorname {artanh} :\left]-1,+1\right[\to \mathbb {R} }
tangente hyperbolique par :
y
=
artanh
x
⟺
x
=
tanh
y
e
t
|
y
|
<
1
{\displaystyle y=\operatorname {artanh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\tanh y\ \mathrm {et} \ |y|<1}
Cette fonction est bijective , impaire et son image est
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
continue , strictement croissante , concave sur
]
−
1
,
0
[
{\displaystyle \left]-1,0\right[}
]
0
,
+
1
[
{\displaystyle \left]0,+1\right[}
Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en 1 est +∞ .
Elle est dérivable sur
]
−
1
,
1
[
{\displaystyle \left]-1,1\right[}
dérivée est donnée par
∀
|
x
|
<
1
artanh
′
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} 'x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
Par conséquent[ 3] artanh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par[ 4]
∀
|
x
|
<
1
artanh
x
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
{\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
La fonction tangente hyperbolique réciproque admet un développement en série entière , valable pour
|
x
|
⩽
1
{\displaystyle |x|\leqslant 1}
[ 5] , [ 6]
artanh
x
=
∑
k
=
0
∞
x
2
k
+
1
2
k
+
1
.
{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}.}
Extension sur le plan complexe
La fonction peut être étendue sur le plan complexe, avec une définition similaire :
∀
|
z
|
<
1
Artanh
z
=
1
2
Log
(
1
+
z
1
−
z
)
.
{\displaystyle \forall |z|<1\quad \operatorname {Artanh} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right).}
logarithme complexe .
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein , « Inverse Hyperbolic Tangent MathWorld
↑ Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI , Bréal , 2003 (lire en ligne ) , p. 26 ↑ Notation recommandée par la norme ISO/CEI 80000-2 .
↑ Pour une preuve plus directe, voir par exemple Argument tangente hyperbolique
↑ Xavier Oudot et Marie Delye-Chevalier, HPrépa Maths : Analyse - 1e année MPSI , Hachette supérieure, 1998 , p. 135 ↑ J. Lelong Ferrand, J.M. Arnaudiès, Analyse , t. 2, Bordas, 1977 , p. 345-347,375-380 ↑ J.M. Arnaudiès, H. Fraysse, Compléments d'analyse , Dunod Université, 1989 , p. 80-96 
![{\displaystyle \operatorname {artanh} :\left]-1,+1\right[\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf80f09873fa46cd416dcf56c99458f64dc2845)
![{\displaystyle \left]-1,0\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400fa40cdbab6903db5c2d15c60556dfcfd9c83a)
![{\displaystyle \left]0,+1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84365b425db3e1a591718900c74bb1db75cff248)
![{\displaystyle \left]-1,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21598ebd71c6365a4d8206ee2ae7133b1d3d3be4)
