Courbe représentative de la fonction artanh .
La tangente hyperbolique réciproque est, en mathématiques , une fonction hyperbolique . C'est la réciproque de la fonction tangente hyperbolique .
Définition
La fonction tangente hyperbolique réciproque, ou argument tangente hyperbolique [ 1] , notée artanh [ 2] (ou argth ),
artanh
:
]
− − -->
1
,
+
1
[
→ → -->
R
{\displaystyle \operatorname {artanh} :\left]-1,+1\right[\to \mathbb {R} }
est définie à l'aide de la tangente hyperbolique par :
y
=
artanh
-->
x
⟺ ⟺ -->
x
=
tanh
-->
y
e
t
|
y
|
<
1
{\displaystyle y=\operatorname {artanh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\tanh y\ \mathrm {et} \ |y|<1}
.
Propriétés
Cette fonction est bijective , impaire et son image est
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Elle est continue , strictement croissante , concave sur
]
− − -->
1
,
0
[
{\displaystyle \left]-1,0\right[}
et convexe sur
]
0
,
+
1
[
{\displaystyle \left]0,+1\right[}
.
Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en 1 est +∞ .
Elle est dérivable sur
]
− − -->
1
,
1
[
{\displaystyle \left]-1,1\right[}
et sa dérivée est donnée par
∀ ∀ -->
|
x
|
<
1
artanh
′
-->
x
=
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} 'x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
.
Par conséquent[ 3] , la fonction artanh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par[ 4]
∀ ∀ -->
|
x
|
<
1
artanh
-->
x
=
1
2
ln
-->
(
1
+
x
1
− − -->
x
)
{\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
.
Tangente hyperbolique réciproque complexe : Voir à Détermination_d'une_fonction_multivaluée#Argument_tangente_hyperbolique_complexe .
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein , « Inverse Hyperbolic Tangent », sur MathWorld
Notes et références