Sinus hyperbolique réciproque

Courbe représentative de la fonction arsinh.

Le sinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique[1], notée arsinh[2] (ou argsh),

${\displaystyle \operatorname {arsinh} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

est définie à l'aide du sinus hyperbolique par :

${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\sinh y}$.

Propriétés

Cette fonction est bijective et son image est ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ et concave sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$.

Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et sa dérivée est donnée par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} 'x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$.

Par conséquent[3], la fonction arsinh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$.

Sinus hyperbolique réciproque complexe

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Sine », sur MathWorld

Notes et références

1. Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI, Bréal, 2003 (lire en ligne), p. 26.
2. Notation recommandée par la norme ISO/CEI 80000-2.
3. Pour une preuve plus directe, voir par exemple Argument sinus hyperbolique sur Wikiversité.