Sphère inscrite

Sphère inscrite

Cube (en noir) avec une sphère inscrite (en rouge)

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En géométrie, une sphère inscrite dans un polyèdre est une sphère contenue dans ce polyèdre et telle que toutes les faces du polyèdre soient tangentes à la surface de la sphère. Il s'agit d'une extension à trois dimensions du cercle inscrit.

Construction

Tout tétraèdre non dégénéré (soit formé par quatre plans non coplanaires) permet de définir une sphère, ainsi tout tétraèdre non dégénéré a une sphère inscrite et les quatre faces du tétraèdre sont tangentes à la sphère.

Dans le cas de polyèdres convexes à n faces, on peut définir la sphère inscrite comme la sphère parmi les ${\textstyle {\binom {n}{4}}}$ sphères inscrits constructibles à partir des tous les quadruplets de faces celle qui ne traverse aucune face et qui est mécaniquement stable (qu'on ne peut bouger à l'intérieur du polyèdre)[1].

Sphère inscrite dans un polyèdre régulier

Tous les polyèdres réguliers convexes (solide de Platon) ont une sphère inscrite qui est tangente aux centres de toutes les faces.

• Solides de Platon avec leurs sphères circonscrites (en bleu) et inscrites (en rouge)
• 
  Tétraèdre
• 
  Cube
• 
  Octaèdre
• 
  Dodécaèdre
• 
  Icosaèdre

Propriétés

Le rayon de la sphère inscrite d'un polyèdre régulier à n faces et de longueur d'arête s est de[2]:

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{2n}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$

où θ désigne l'angle dièdre entre deux faces.

Notes et références

1. (en) K.K. Sahu et A.K. Lahiri, « Finding the insphere of a convex polyhedron: an analytical approach », Philosophical Magazine, vol. 84, n^o 12,‎ 2004, p. 1185 — 1196 (DOI 10.1080/14786430310001647159)
2. (en) D. Noviyanti et H.P. Lestari, « The study of circumsphere and insphere of a regular polyhedron », Journal of Physics: Conference Series, vol. 1581, n^o 012054,‎ 2020 (DOI 10.1088/1742-6596/1581/1/012054)

Voir aussi

Articles connexes

• Sphère circonscrite

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Insphere », sur MathWorld