Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment[1] (ou quadrivecteur impulsion[1] ou quadri-impulsion[2] ou quadrivecteur impulsion-énergie[3] ou quadrivecteur énergie-impulsion[4]) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ et d'énergie ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p^{0}\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma mc\\\gamma mv_{x}\\\gamma mv_{y}\\\gamma mv_{z}\end{pmatrix}}}$.

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées ${\displaystyle \ \left(p^{0};p^{1};p^{2};p^{3}\right)}$, dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées ${\displaystyle \ \left(p_{0};p_{1};p_{2};p_{3}\right)}$ et sont telles que ${\displaystyle \ p_{i}=\eta _{ij}.p^{j}}$.

Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la relation d'Einstein[5],[6],[7],[8] :

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$,

reliant l'énergie, la masse et l'impulsion[8]. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à ${\displaystyle E=mc^{2}}$[8]. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à ${\displaystyle E=pc}$[9].

La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski[10],[11],[12].

Dénominations

La dénomination « quadrivecteur énergie-quantité de mouvement » reste usitée[13]. Mais, en raison notamment de sa longueur[14], des auteurs lui substituent celle de « quadrivecteur énergie-impulsion »[15],[16] ou de « quadrivecteur impulsion-énergie »[17]. Cela est discutable car « impulsion » devrait être réservé à « l'action d'une force pendant un court intervalle de temps » et ainsi à « une variation de quantité de mouvement »[14].

Relation avec la quadrivitesse

Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ où ${\displaystyle m}$ correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos ${\displaystyle \ m}$ et de la quadrivitesse ${\displaystyle \ u}$.

En coordonnées contravariantes, on a ${\displaystyle \ u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\left(\gamma .c,\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z}\right)}$, où ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

${\displaystyle p^{\mu }=m\,u^{\mu }\!}$ où ${\displaystyle \mu \in {\big \{}0,1,2,3{\big \}}}$

Norme de Minkowski : p^2

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}}$

Puisque ${\displaystyle |p|^{2}\!}$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

En utilisant la métrique de Minkowski :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-,+,+,+)}$ au lieu de la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(+,-,-,-)}$ adoptée dans cet article[N 1]. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné[N 2] implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :

1. La quantité totale d'énergie ${\displaystyle \ E=c.p^{0}}$ est invariante.
2. Le moment linéaire classique tridimensionnel ${\displaystyle {\vec {p}}}$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c^2 mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c^2. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c^2.

Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p^A et p^B de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p^A_μ + p^B_μ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|^2 = M^2c^2. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A^μ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

${\displaystyle p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(m^{2}c^{2})=0}$.

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste : ${\displaystyle P^{\mu }}$, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }\!}$,

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi /c\\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}$.

Notes et références

Notes

1. La convention de signe ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(+,-,-,-)}$ est présente dans Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], par exemple.
2. La conservation du quadri-moment signifie que dans un référentiel donné, le quadri-moment total ${\displaystyle p^{\nu }}$ d'un système isolé est conservé. Lorsqu'on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : ${\displaystyle p'~^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }p^{\nu }}$. Le nouveau quadri-moment ${\displaystyle p'~^{\mu }}$ est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas égal à ${\displaystyle p^{\nu }}$.

Références

1. Relativité générale et gravitation de Edgard Elbaz, (ellipse 1986), chapitre IV, §4
2. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], §9
3. Ch. Grossetête, Relativité restreinte et structure atomique de la matière, Paris, Ellipses, 1985, 320 p. (ISBN 2-7298-8554-4), p. 61
4. Introduction à la relativité de James H. Smith, InterEditions (1968), (2^e édition en 1979 (ISBN 2-7296-0088-4) rééditée par Masson : Dunod - 3^e édition - 1997 (ISBN 2-225-82985-3)), chapitre 12
5. Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.1, § 9.1.2, p. 277.
6. Meyer 2020, leçon 7, sec. 1, § 1.2, p. 91.
7. Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 173.
8. Vafa 2021, chap. 1^er, sec. 1.7, p. 14.
9. Pérez 2017, chap. 5, sec. IV, § IV.2, p. 95.
10. Darrigol 2022, chap. 7, sec. 7.4, p. 219.
11. Gourgoulhon 2010, chap. 9, sec. 9.1, § 9.1.1, n. historique, p. 275.
12. Walter 2007, § 2, p. 222.
13. Provost, Raffaelli et Vallée 2019, chap. 4, sec. 4.3, p. 110.
14. Le Bellac 2015, chap. 4, sec. 4.1, n. 2, p. 54.
15. Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 9, sec. 9.3, p. 172.
16. Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609, col. 2.
17. Barrau et Grain 2016, chap. 2, sec. 2.2, § 2.2.4, p. 23.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991, 2^e éd., poche (ISBN 978-0-19-853952-0, LCCN 90048748)

Histoire des sciences

• [Darrigol 2022] (en) Olivier Darrigol, Relativity principles and theories from Galileo to Einstein, Oxford et New York, Oxford University Press, hors coll., mars 2022, 1^re éd., XII-472 p., 25 cm (ISBN 978-0-19-284953-3, EAN 9780192849533, OCLC 1258675513, SUDOC 256229503, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Walter 2007] (en) Scott A. Walter, « Breaking in the four-vectors : the four-dimensional movement in gravitation », dans Jürgen Renn et Matthias Schemmel (éd.), The genesis of general relativity, t. III : Gravitation in the twilight of classical physics : between mechanics, field theory, and astronomy, Dordrecht, Springer, coll. « Boston studies in the philosophy of science » (n^o 250), février 2007, 1^re éd., 619 p., 25 cm (ISBN 978-1-4020-3999-7 et 978-94-017-8518-1, OCLC 496603813, BNF 40991060, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9, Bibcode 2007ggr..conf.....R, SUDOC 113837798, présentation en ligne, lire en ligne), p. 193-252 (OCLC 108382579, DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9_18, résumé).

Manuels d'enseignement supérieurs

• [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Meyer 2020] Thierry Meyer, 51 leçons de l'agrégation externe de sciences physiques corrigées et commentées, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », janvier 2020, 1^re éd., 656 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-03667-3, EAN 9782340036673, OCLC 1141404288, BNF 46513072, SUDOC 24216935X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Pérez 2016] José-Philippe Pérez (collab. Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., mai 2016 (réimpr. octobre 2017), 3^e éd. (1^re éd. septembre 1999), XXIII-439 p., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7 et 978-2-10-074717-7, EAN 9782100772957, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Provost, Raffaelli et Vallée 2019] Jean-Pierre Provost, Bernard Raffaelli et Gérard Vallée, Mathématiques en physique : concepts et outils, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », janvier 2019, 1^re éd., XIV-366 p., 17,5 × 25 cm (ISBN 978-2-10-079023-4, EAN 9782100790234, OCLC 1083672225, BNF 45652597, SUDOC 233556478, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), X-309 p., 17 × 24 m (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).

Ouvrages d'introduction

• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010 (réimpr. mars 2011), 1^re éd., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Le Bellac 2015] Michel Le Bellac (préf. Thibault Damour), Les relativités : espace, temps, gravitation, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », avril 2015, 1^re éd., XIV-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-1294-3, EAN 9782759812943, OCLC 910332402, BNF 44362603, SUDOC 185764118, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Vafa 2021] Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes [« Puzzles to unravel the Universe »], Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », octobre 2021, 1^re éd., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. quadrivecteur énergie-impulsion, p. 609-610.

Articles connexes

• Moment linéaire
• Quadrivecteur
• Quantité de mouvement
• Relativité restreinte
• E=mc2