Invariance de Lorentz

L'invariance de Lorentz, quelquefois aussi appelée invariance de Lorentz et Poincaré[1] est la propriété d'une quantité physique d'être inchangée par transformation de Lorentz[2]. Il s'agit de quantités physiques qui, lorsqu'elles sont exprimées de manière tensorielle, sont des scalaires ou pseudoscalaires[2].

L'invariance de Lorentz locale est une des trois hypothèses composant le principe d'équivalence d'Einstein[3].

Dans les cadres de la relativité restreinte et donc de la relativité générale, une quantité est dite invariante de Lorentz, scalaire de Lorentz ou encore invariante relativiste, lorsqu'elle n'est pas modifiée sous l'application d'une transformation de Lorentz. Sa valeur est donc la même dans tous les référentiels galiléens.

Grandeurs invariantes

Les grandeurs suivantes sont des invariants relativistes[4] :

• l'action ;
• l'entropie ;
• la charge électrique ;
• la vitesse de la lumière dans le vide (c₀) ;
• la pseudonorme d'un quadrivecteur[5] ;
• le genre — temps, lumière ou espace — de celui-ci[5] ;
• le signe de la composante temporelle d'un quadrivecteur de genre temps ou de genre lumière[5].

Espace de Minkowski

Le premier exemple de quantité invariante de Lorentz est la métrique de Minkowski[N 1] ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}$. Si on considère une transformation de Lorentz représentée par ${\displaystyle \Lambda \,}$[N 2], alors on a, par définition, des transformations de Lorentz

${\displaystyle \Lambda ^{t}\eta \Lambda =\eta \,}$

si on utilise la notation matricielle, ou

${\displaystyle {\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }\eta _{\mu '\nu '}=\eta _{\mu \nu }\,}$

si on adopte la notation d'indices plus commune en physique. On a adopté pour cette dernière la convention de sommation d'Einstein qui somme implicitement selon les quatre directions tout indice apparaissant à la fois en haut et en bas d'une expression.

À partir de cette quantité invariante fondamentale on peut en construire d'autres. Par exemple, si on considère le quadrivecteur d'énergie-impulsion[N 3],

${\displaystyle P^{\mu }={\begin{pmatrix}E\\{\vec {p}}\,c\end{pmatrix}}\,}$

constitué de l'énergie ${\displaystyle E\,}$ et de l'impulsion ${\displaystyle {\vec {p}}\,}$. Il n'est pas invariant de Lorentz, car il se transforme de la façon suivante[N 4]

${\displaystyle P^{\mu }\rightarrow {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }P^{\nu }\,}$

Mais, par contre, on peut construire la quantité quadratique suivante par contraction de ce quadrivecteur en utilisant la métrique

${\displaystyle P^{2}\equiv P^{\mu }P_{\mu }\equiv \eta _{\mu \nu }P^{\mu }P^{\nu }=-E^{2}+p^{2}c^{2}=-m^{2}c^{4}\,}$

qui définit la masse en relativité restreinte. Cette quantité est un invariant de Lorentz, car si ${\displaystyle P^{\mu }}$ subit une transformation de Lorentz, la quantité ${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }}$ devient :

${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }=\eta _{\mu \nu }P^{\mu }P^{\nu }\rightarrow \eta _{\mu \nu }({\Lambda ^{\mu }}_{\rho }P^{\rho })({\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }P^{\sigma })=\eta _{\rho \sigma }P^{\rho }P^{\sigma }=P^{\rho }P_{\rho }}$

où on a utilisé l'invariance de la métrique énoncée au début de l'article pour l'avant-dernière étape du calcul. Comme ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \rho }$ sont des indices muets, on a bien retrouvé la norme du quadrivecteur ${\displaystyle P}$, qui est donc une grandeur invariante[N 5].

Dans cette démonstration, nous n'avons à aucun moment utilisé l'expression explicite de ${\displaystyle P}$, ce qui signifie que la norme de n'importe quel quadrivecteur est une grandeur conservée par les transformations de Lorentz.

Le fait qu'une quantité soit invariante permet d'obtenir des résultats intéressants en choisissant des référentiels particuliers. Par exemple, si on considère le cas d'une particule de masse non nulle ${\displaystyle m\,}$, alors on peut considérer le référentiel de repos dans lequel on a ${\displaystyle {\vec {p}}=0\,}$. On obtient alors la célèbre identité :

${\displaystyle E=m\,c^{2}\,}$

Par contre, dans le cas d'une particule de masse nulle, comme le photon, il est impossible de trouver un tel référentiel, mais on a alors la relation

${\displaystyle E=p\,c\,.}$

Notes et références

Notes

1. On utilise par la suite ici la signature ${\displaystyle (-,+,+,+)\,}$ pour la métrique.
2. C'est une matrice ${\displaystyle 4\times 4}$.
3. Lorsqu'on se place a priori dans le cadre de la mécanique relativiste il est d'usage d'oublier le préfixe quadri et de parler plus simplement de vecteur ou d'impulsion.
4. C'est la définition même d'un vecteur.
5. Invariant sous-entend « par transformation de Lorentz », qui est différent de conservé qui signifie constant dans le temps. La masse d'une particule élémentaire est invariante. En l'absence d'actions extérieures, son vecteur énergie-impulsion est conservé (mais pas invariant).

Références

1. (en) Jong-Ping Hsu et Yuan-Zhong Zhang, Lorentz and Poincaré Invariance: 100 Years of Relativity, World Scientific, 2001 (ISBN 978-981-281-098-4, lire en ligne)
2. Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.invariance de Lotentz, p. 396, col. 1.
3. Peter et Uzan 2012, § 1.1.3, p. 29.
4. Georges Lochak et al., Diverses questions de mécanique et de thermodynamique classiques et relativistes, 1995 (en ligne).
5. Semay et Silvestre-Brac 2021, p. 146.

Voir aussi

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., ill., fig. et graph., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. invariance de Lotentz, p. 396, col. 1. 
• [Peter et Uzan 2012] Patrick Peter et Jean-Philippe Uzan (préf. de Thibault Damour), Cosmologie primordiale, Paris, Belin, coll. « Échelles », février 2012, 2^e éd. (1^re éd. mai 2005), 816 p., ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7011-6244-7, EAN 9782701162447, OCLC 793482816, BNF 42616501, SUDOC 158540697, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup / physique », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 2-10-082836-3 et 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

• Relativité restreinte
• E=mc^2
• Calculs relativistes
• Transformations de Lorentz
• Covariance
• Symétrie