Q-exponentielle

En mathématiques combinatoires, une q-exponentielle est un q-analogue de la fonction exponentielle, à savoir la fonction propre d'un opérateur de q-dérivation. Il existe de nombreuses q-dérivées, par exemple la q-dérivée classique, l'opérateur d'Askey-Wilson, etc. Par conséquent, contrairement à l'exponentielle classique, les q-exponentielles ne sont pas uniques. Par exemple, ${\displaystyle e_{q}(z)}$ est la q-exponentielle correspondant à la q-dérivée classique tandis que ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{q}(z)}$ sont des fonctions propres des opérateurs d'Askey-Wilson.

La q-exponentielle est également connue sous le nom de dilogarithme quantique[1],[2].

Définition

La q-exponentielle ${\displaystyle e_{q}(z)}$ correspondant à la q-dérivée classique est définie par

${\displaystyle e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!_{q}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}}$

où ${\displaystyle n!_{q}}$ est la q-factorielle et

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

est le q-symbole de Pochhammer. Qu'il s'agisse du q-analogue de l'exponentielle découle de la propriété

${\displaystyle \left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)}$

où la dérivée dans le membre de gauche est la q-dérivée. Ce qui précède est facilement vérifié en considérant la q-dérivée du monôme

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1},}$

où ici, ${\displaystyle [n]_{q}}$ est le q-symbole de Pochhammer. Pour d'autres définitions de la fonction q-exponentielle, voir Exton (1983), Ismail & Zhang (1994) et Cieśliński (2011) .

Propriétés

Pour tout réel ${\displaystyle q>1}$, la fonction ${\displaystyle e_{q}(z)}$ est une fonction entière de ${\displaystyle z}$. Pour ${\displaystyle q<1}$, ${\displaystyle e_{q}(z)}$ est régulière sur le disque ${\displaystyle |z|<1/(1-q)}$.

La fonction et son inverse sont liées par ${\displaystyle ~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1}$.

Formule d'addition

L'analogue de la relation ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$ n'est pas réalisée pas pour ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ réels . Cependant, s'il s'agit d'opérateurs satisfaisant la relation de commutation ${\displaystyle xy=qyx}$, alors la relation ${\displaystyle e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)}$ est exacte[3].

Relations

Pour ${\displaystyle -1<q<1}$, une fonction étroitement liée est ${\displaystyle E_{q}(z).}$ C'est un cas particulier des séries hypergéométriques basiques,

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.}$

Il vient naturellement :

${\displaystyle \lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}={\rm {e}}^{-z}.}$

Relation avec le dilogarithme

${\displaystyle e_{q}(x)}$ a la représentation en produit infini suivante :

${\displaystyle e_{q}(x)=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}(1-q)x}}.}$

Comme d'autre part, ${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$, pour ${\displaystyle |q|<1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\ln(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.}$

En prenant la limite lorsque ${\displaystyle q\to 1}$,

${\displaystyle \lim _{q\to 1}(1-q)\ln e_{q}\left({\frac {x}{1-q}}\right)=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

où ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$ est le dilogarithme.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Q-exponential » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Wadim Zudilin, « Quantum dilogarithm », wain.mi.ras.ru, 14 mars 2006 (consulté le 16 juillet 2021)
2. (en) L.D. Faddeev et R.M. Kashaev, « Quantum dilogarithm », Modern Physics Letters A, vol. 09, n^o 5,‎ 20 février 1994, p. 427–434 (ISSN 0217-7323, DOI 10.1142/S0217732394000447, Bibcode 1994MPLA....9..427F, arXiv hep-th/9310070, S2CID 119124642, lire en ligne)
3. (en) V. Kac et P. Cheung, Quantum Calculus, Springer, 2011 (ISBN 978-1461300724), p. 31

Bibliographie

• (en) Jan L. Cieśliński, « Improved q-exponential and q-trigonometric functions », Applied Mathematics Letters, vol. 24, n^o 12,‎ 2011, p. 2110–2114 (DOI 10.1016/j.aml.2011.06.009, arXiv 1006.5652, S2CID 205496812)
• (en) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983 (ISBN 0853124914)
• (en) George Gasper, Basic Hypergeometric Series, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 0521833574)
• (en) Mourad E. H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9780521782012, DOI 10.1017/CBO9781107325982)
• (en) Mourad E. H. Ismail et Ruiming Zhang, « Diagonalization of certain integral operators », Advances in Mathematics, vol. 108, n^o 1,‎ 1994, p. 1–33 (DOI 10.1006/aima.1994.1077)
• (en) Mourad E. H. Ismail, Mizan Rahman et Ruiming Zhang, « Diagonalization of certain integral operators II », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 68, n^os 1–2,‎ 1996, p. 163–196 (DOI 10.1016/0377-0427(95)00263-4, CiteSeer^x 10.1.1.234.4251)
• (en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Transactions of the Royal Society of Edinburgh, vol. 46, n^o 2,‎ 1909, p. 253–281 (DOI 10.1017/S0080456800002751, S2CID 123927312)