Série hypergéométrique basique

En mathématiques, les séries hypergéométriques basiques de Heine, ou q-séries hypergéométriques, sont des généralisations q-analogues des séries hypergéométriques généralisées, à leur tour étendues par les séries hypergéométriques elliptiques. Une série x_n est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs x_n+1/x_n est une fraction rationnelle de n. Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en q^n, alors la série est dite hypergéométrique basique, et le nombre q est appelé base.

La série hypergéométriques basique ₂ϕ₁(q^α,q^β;q^γ;q,x) a d'abord été introduite par Eduard Heine 1846. On retrouve la série hypergéométrique F(α,β;γ;x) à la limite si la base q vaut 1.

Définition

Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques, les séries hypergéométriques basiques unilatérales ϕ, et les plus générales, les séries hypergéométriques basiques bilatérales ψ.

Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par

${\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}}$

avec

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

et

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

est le q-symbole de Pochhammer.

Le cas spécial le plus important correspond à j=k + 1, où on obtient

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

Cette série est dite balancée si a₁ ... a_{k + 1} = b₁ ...b_kq. Elle est dite bien équilibrée si a₁q = a₂b₁ = ... = a_{k + 1}b_k, et très bien équilibrée si on a en plus a₂ = −a₃ = qa₁^1/2.

La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie (Koekoek et Swarttouw 1996)

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right].}$

Les séries hypergéométriques basiques bilatérales, correspondant aux séries hypergéométriques bilatérales, sont définies par

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.}$

Le cas spécial le plus important correspond à j=k, où elle devient

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier des bilatérales en fixant une des variables b égales à q, au moins quand aucune des variables a est une puissance de q, car alors tous les termes correspondant à n < 0 s'annulent dans ce cas.

Cas simples

Parmi les cas les plus simples, on trouve

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

et

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

et

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

Le théorème q-binomial

Le théorème q-binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August Rothe[1],[2] établit que

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}$

qui s'obtient en appliquant à plusieurs reprises l'identité

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$

Le cas spécial a = 0 est liée à la q-exponentielle.

Théorème binomial de Cauchy

Le théorème binomial de Cauchy est un cas spécial du théorème q-binomial[3].

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad ({\textrm {pour}}|q|<1)}$

avec ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}$ le coefficient q-binomial :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}={\frac {(q)_{N}}{(q)_{n}(q)_{N-n}}}=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1-q^{N-n}}{1-q^{n+1}}}.}$

Identité de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan a posé l’identité

${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$

vraie pour tout |q| < 1 et |b/a| < |z| < 1. Des identités similaires pour ₆ψ₆ ont été données par Bailey. De telles identités peuvent être vues comme des généralisations du théorème de triple produit de Jacobi, qui peuvent être écrites par des q-séries par

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

Ken Ono donne une série entière liée :

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

Intégrale de contour de Watson

Comme analogue de l'intégrale de Barnes (en) pour la série hypergéométrique, Watson a montré que

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi {\rm {i}}}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-{\rm {i}}\infty }^{{\rm {i}}\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}(-z)^{s}\,\mathrm {d} s}$

où les pôles de (aq^s , bq^s ; q)_∞ sont sur la gauche du contour et les pôles restants sur la droite. Il existe une intégrale de contour similaire pour _r+1ϕ_r.

Cette intégrale de contour donne un prolongement analytique continu de la fonction hypergéométrique basique en z.

Voir aussi

• Identité de Dixon
• Identités de Rogers-Ramanujan

Notes

1. D. M. Bressoud, « Some identities for terminating q-series », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 89, n^o 2,‎ 1981, p. 211–223 (DOI 10.1017/S0305004100058114, MR 600238).
2. H. B. Benaoum, « h-analogue of Newton's binomial formula », Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 31, n^o 46,‎ 1998, L751–L754 (DOI 10.1088/0305-4470/31/46/001, arXiv math-ph/9812011).
3. (en) Eric W. Weisstein, « Cauchy Binomial Theorem », sur MathWorld

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « q-Hypergeometric Functions », sur MathWorld

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Basic hypergeometric series » (voir la liste des auteurs).
• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004)
• Gwynneth H. Coogan et Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719–724
• Sylvie Corteel et Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's ${\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}$ Summation
• Nathan J. Fine, Basic hypergeometric series and applications, vol. 27, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1988, 124 p. (ISBN 978-0-8218-1524-3, MR 956465, lire en ligne)
• George Gasper et Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, vol. 96, Cambridge University Press, 2004, 2^e éd., 428 p. (ISBN 978-0-521-83357-8, DOI 10.2277/0521833574, MR 2128719, lire en ligne)
• Eduard Heine, « Über die Reihe ${\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots }$ », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 32,‎ 1846, p. 210–212 (lire en ligne)
• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. (ISBN 0-387-95341-8)
• J. Cresson, S. Fischler et Tanguy Rivoal, « Séries hypergéométriques multiples et polyzêtas », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 136, n^o 1,‎ 2008, p. 97–145 (lire en ligne)
• Andrews, G. E., Askey, R. et Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press.
• Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
• Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.