Identités de Rogers-Ramanujan

En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont les deux égalités de q-séries hypergéométriques suivantes[1], qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\color {Red}n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5k\color {Red}+1})(1-q^{5k\color {Red}+4})}},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\color {Red}n(n+1)}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5k\color {Red}+2})(1-q^{5k\color {Red}+3})}}.}$

Histoire

Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Leonard James Rogers (en) en 1894[2], puis trouvées (mais sans démonstration) par Srinivasa Ramanujan peu avant 1913[3]. Ramanujan a découvert l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié en commun une nouvelle preuve[4]. Issai Schur a lui aussi découvert ces identités et les a démontrées (indépendamment) en 1917[5].

Définition

En utilisant le q-symbole de Pochhammer, les identités de Rogers-Ramanujan sont :

${\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \,}$ (suite A003114 de l'OEIS)

et

${\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots \,}$ (suite A003106 de l'OEIS).

Symboles de Pochhammer

Les symboles de Pochhammer qui interviennent sont :

${\displaystyle (q;q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}$

${\displaystyle (q;q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+1})}$

${\displaystyle (q^{4};q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+4})}$

${\displaystyle (q^{2};q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+2})}$

${\displaystyle (q^{3};q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+3})}$

Interprétations combinatoires

Pour la première identité (G), le membre de droite peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts diffèrent d’au moins 2, et le membre de gauche est le nombre de partitions de n en parts congrues à ±1 modulo 5 (1, 4, 6, 9, etc.)[6],[7].

Pour la seconde (H) :

• ${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}}$ est la série génératrice des partitions en n parts telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2.
• ${\displaystyle {\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$ est la série génératrice des partitions telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Le nombre de partitions de n telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2 est égal au nombre de partitions de n telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rogers–Ramanujan identities » (voir la liste des auteurs).

1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 375, th. 362 et 363.
2. (en) Leonard James Rogers, « Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc., vol. 26, n^o 1,‎ 1894, p. 15-32 (DOI 10.1112/plms/s1-26.1.15).
3. Il les a communiquées à Percy Alexander MacMahon qui les a incluses dans son livre Combinatory Analysis, Cambridge University Press, Vol. 2, 1916, sans démonstration.
4. (en) Leonard James Rogers et Srinivasa Ramanujan, « Proof of certain identities in combinatory analysis », Cambr. Phil. Soc. Proc., vol. 19,‎ 1919, p. 211-216.
5. (de) Issai Schur, « Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche », Sitzungsberichte der Berliner Akademie,‎ 1917, p. 302-321.
6. Hardy et Wright 2007, p. 376, th. 364.
7. « Identité de Rogers-Ramanujan », sur Publimath.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Cilanne Boulet et Igor Pak (en), « A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 113, n^o 6,‎ 2006, p. 1019-1030 (DOI 10.1016/j.jcta.2005.09.007, arXiv math/0411072, lire en ligne)
• (en) David Bressoud, « An easy proof of the Rogers-Ramanujan identities », J. Number Theory, vol. 16, n^o 2,‎ 1983, p. 235-241 (DOI 10.1016/0022-314X(83)90043-4)

Articles connexes

• Fraction continue de Rogers-Ramanujan
• Identité du produit quintuple
• Polynômes de Rogers (en)
• Théorème des nombres pentagonaux
• Triple produit de Jacobi

Lien externe

• (en) Eric W. Weisstein, « Rogers-Ramanujan Identities », sur MathWorld