Propriété de Banach-SaksEn analyse fonctionnelle (mathématique), un espace de Banach a la propriété de Banach-Saks si toute suite bornée de cet espace possède une sous-suite dont la moyenne de Cesàro converge. L'étude de cette propriété a été amorcée par Stefan Banach et Stanisław Saks[1]. Définition et motivationOn dit qu'un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks si toute suite bornée (xm)m dans X admet une sous-suite (xmn)n qui converge au sens de Cesàro, c'est-à-dire qu'il existe un vecteur x dans X tel que Beaucoup d'auteurs utilisent pour cette propriété l'abréviation BSP – de l'anglais Banach-Saks property – ou BS. D'après le lemme de Mazur, toute limite faible d'une suite (xn)n est limite forte (i.e. en norme) d'une suite (yn)n de combinaisons convexes des xn. On peut donc se demander s'il existe même une telle suite (yn)n qui soit la suite des moyennes arithmétiques d'une suite extraite de (xn)n. Puisque l'extraction de sous-suite est inévitable, on peut essayer d'alléger l'hypothèse de convergence faible de la suite (xn)n en la supposant seulement bornée. En effet, au moins dans un espace réflexif, toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente. Exemples
On a donc la suite d'implications (strictes) : super-réflexivité ⇒ propriété de Banach-Saks ⇒ réflexivité,
si bien que la super-propriété de Banach-Saks équivaut à la super-réflexivité.
Transfert
Notions apparentéesp-propriété de Banach-SaksOn dit qu'un espace de Banach X a la p-propriété de Banach-Saks si, pour toute suite bornée (xm)m dans X, il existe une sous-suite (xmn)n, un vecteur x dans X et une constante C > 0 (qui dépendent de la suite) tels que S'il existe un p > 1 pour lequel X a cette propriété, alors X a la propriété de Banach-Saks ordinaire, car Dans leur article de 1930, Banach et Saks ont essentiellement démontré que pour 1 < p < ∞, Lp([0, 1]) a la p-propriété. Propriété de Banach-Saks faiblePuisque la propriété de Banach-Sacks entraîne la réflexivité, il est naturel de chercher sous quelle hypothèse supplémentaire on a la réciproque. Un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks faible ou WBS (ou BSR : propriété de Banach-Saks-Rosenthal[6], du nom de Haskell Paul Rosenthal) si toute suite faiblement convergente dans X admet une sous-suite qui converge au sens de Cesàro. Comme toute suite faiblement convergente est bornée, la propriété de Banach-Saks usuelle entraîne cette variante faible, et comme indiqué plus haut, pour un espace réflexif les deux sont équivalentes. Mais beaucoup d'espaces non réflexifs (donc n'ayant pas la propriété usuelle) ont la propriété faible :
On définit de même la p-propriété de Banach-Saks faible. Propriété de Banach-Saks alternéeOn dit qu'un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks alternée (ou ABS) si toute suite bornée (xm)m dans X a une sous-suite (xmn)n dont la suite des « moyennes alternées de Cesàro » converge en norme. Cette propriété est intermédiaire entre les propriétés de Banach-Saks usuelle et faible[6] et ces implications sont strictes : ℓ1 a la propriété faible (puisqu'il a la propriété de Schur) mais pas l'alternée et c0 a l'alternée[10] mais – comme vu plus haut – pas l'usuelle. Notes et références(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Banach-Saks-Eigenschaft » (voir la liste des auteurs).
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