Pôle (mathématiques)

Représentation de la fonction f : z ${\displaystyle \mapsto }$ 1 / (1 + z²) avec deux pôles d'ordre 1, en z = i et z = -i.

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}\mapsto z^{-n}\in \mathbb {C} }$, où n est un entier naturel non nul.

Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe.

Définition et propriétés

Soient U un ouvert du plan complexe ℂ, a un élément de U et ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ une fonction holomorphe. On dit que a est un pôle de f (ou que f admet un pôle en a) s'il existe une fonction g holomorphe sur un voisinage V ⊂ U de a telle que ${\displaystyle g(a)\neq 0}$ et un entier n ≥ 1 tels que pour tout z dans V\{a} on ait

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$.

Une telle écriture est alors unique et l'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est appelé parfois pôle simple.

Un pôle de f est un point en lequel |f| tend vers l'infini.

Le point a est un pôle de f si (et seulement si) au voisinage de a, f n'est pas bornée et 1/f est bornée.

Exemples et contre-exemples

• La fonction

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

a un pôle d'ordre 1 (ou pôle simple) en ${\displaystyle z=0}$.

• La fonction

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

a un pôle d'ordre 2 en ${\displaystyle z=5}$ et un pôle d'ordre 3 en ${\displaystyle z=-7}$.

• La fonction

${\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z^{3}}}}$

a un pôle d'ordre 2 en ${\displaystyle z=0}$, car ${\displaystyle \sin z}$ est équivalent à ${\displaystyle z}$ au voisinage de ${\displaystyle z=0}$ (cela se montre par exemple en utilisant la série de Taylor de la fonction sinus à l'origine).

• Contrairement aux apparences, la fonction

${\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

n'admet pas un pôle en ${\displaystyle z=0}$, car en raison de l'équivalent évoqué à l'exemple précédent, ${\displaystyle f(z)}$ est équivalent à 1 au voisinage de ${\displaystyle z=0}$. En particulier, ${\displaystyle f}$ reste bornée au voisinage de l'origine, donc ${\displaystyle z=0}$ n'est pas un pôle de ${\displaystyle f}$. On peut alors prolonger ${\displaystyle f}$ en une fonction holomorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ tout entier. On dit que ${\displaystyle z=0}$ est une singularité effaçable de ${\displaystyle f}$.

• La fonction

${\displaystyle f(z)=\exp \left({\frac {1}{z}}\right)}$

n'admet pas un pôle en ${\displaystyle z=0}$. En effet ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle 1/f}$ sont toutes les deux non bornées au voisinage de ${\displaystyle z=0}$. On parle alors de singularité essentielle et non plus de pôle.

Voir aussi

• Zéro (analyse complexe)
• Résidu (analyse complexe)
• Fonction rationnelle