Octadécagone

Un octadécagone ou octakaidécagone est un polygone à 18 sommets, donc 18 côtés et 135 diagonales.

La somme des angles internes d'un octadécagone non croisé vaut 2 880 degrés.

Nom

Le nom du polygone est formé à partir des préfixes octo et déca. Octo provient du grec ancien ὀκτώ (octo, huit) et déca de δέκα (déca, dix). En grec ancien, dix-huit se dit ὀκτὼ καὶ δέκα (octo kai deka).

L'octadécagone régulier

Un octadécagone régulier est un octadécagone dont les 18 côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (les octadécagrammes notés {18/5} et {18/7}) et un convexe (noté {18}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octadécagone régulier ».

L'octadécagone régulier convexe {18} et ses angles remarquables.

• Les deux octadécagones réguliers étoilés
• 
  {18/5} (angle interne : 80°)
• 
  {18/7} (angle interne : 40°)

Caractéristiques

Dans l'octadécagone régulier, chacun des 18 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{18}}=20^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {2\,880^{\circ }}{18}}=160^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=18\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A={\frac {18}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{18}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{18}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}}$.

Propriétés

• L'octadécagone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas.
• Son symbole de Schläfli est {18}.
• Son groupe de symétrie est le groupe diédral D₁₈.

Voir aussi

(en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles — Pi/18 », sur MathWorld