Indice de Voorhoeve

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'indice de Voorhoeve est un nombre réel positif associé à certaines fonctions à valeurs complexes, introduit par Marc Voorhoeve (en) en 1976. Il permet d'étendre le théorème de Rolle à ces fonctions, en jouant un rôle analogue à celui qui, dans le cas réel, est joué par le nombre de zéros de la fonction sur un intervalle.

Définition

Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage ouvert de l'intervalle réel ${\displaystyle I=[a,b]}$. L'indice de Voorhoeve de f, ${\displaystyle V_{I}(f)}$, est un réel positif défini par

${\displaystyle V_{I}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\frac {d}{dt}}{\rm {Arg}}\,f(t)\right|\,\,dt\,={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\rm {Im}}\left({\frac {f'}{f}}\right)\right|\,dt.}$

(certains auteurs utilisent un facteur de normalisation autre que 1/2π).

Une généralisation du théorème de Rolle

Une conséquence du théorème de Rolle est que si f (à valeurs réelles) est continûment différentiable sur I, et que ${\displaystyle N_{I}(f)}$ est son nombre de zéros sur cet intervalle, alors ${\displaystyle N_{I}(f)\leq N_{I}(f')+1}$.

L'indice de Voorhoeve vérifie la relation analogue ${\displaystyle V_{I}(f)\leq V_{I}(f')+{\frac {1}{2}}}$, permettant de borner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe dans un certain domaine.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Voorhoeve index » (voir la liste des auteurs).

• (en) Marc Voorhoeve, « On the oscillation of exponential polynomials », Math.Z., vol. 151,‎ 1976, p. 277–294
• (en) A. Khovanskii et S. Yakovenko, « Generalized Rolle theorem in ${\displaystyle R^{n}}$ and ${\displaystyle C}$ », J. Dyn. Control Syst., vol. 2,‎ 1996, p. 103–123