Inégalité de Popoviciu

En analyse convexe, l'inégalité de Popoviciu est une inégalité portant sur les fonctions convexes. Elle ressemble à l'inégalité de Jensen et a été découverte en 1965 par le mathématicien roumain Tiberiu Popoviciu[1].

Énoncé

Soit f une fonction d'un intervalle dans . Si f est convexe, alors, pour trois points quelconques x, y et z de I[2],[3],
Si une fonction f est continue, alors elle est convexe si et seulement si l'inégalité ci-dessus est vraie pour tout x, y et z de I. Lorsque f est strictement convexe, l’inégalité est stricte sauf pour x = y = z.

Généralisation

Cette inégalité peut être généralisée à n’importe quel nombre fini n de points au lieu de 3, pris à droite k à la fois au lieu de 2 à la fois[4] :

Soit f une fonction continue d'un intervalle dans . Alors f est convexe si et seulement si, pour tout entier n et kn ≥ 3 et 2 ≤ kn–1 et n points quelconques x1, ..., xn de I,

L'inégalité de Popoviciu peut également être généralisée en une inégalité pondérée[5],[6],[7]. L'article de Popoviciu a été publié en roumain, mais le lecteur intéressé peut trouver ses résultats dans la revue en lien Zentralblatt MATH[8].

Notes et références

  1. Tiberiu Popoviciu, « Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes », Analele ştiinţifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secţia I a Mat., vol. 11,‎ , p. 155–164
  2. Constantin Niculescu et Lars-Erik Persson, Convex functions and their applications: a contemporary approach, Springer Science & Business, (ISBN 978-0-387-24300-9, lire en ligne), p. 12
  3. Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 289-290
  4. (en) J. E. Pečarić, Frank Proschan et Yung Liang Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Boston, Academic Press, (ISBN 978-0-12-549250-8, lire en ligne), p. 171
  5. P. M. Vasić et Lj. R. Stanković, « Some inequalities for convex functions », Math. Balkanica, no 6 (1976),‎ , p. 281–288
  6. (en) Darij Grinberg, « Generalizations of Popoviciu's inequality », .
  7. M.Mihai et F.-C. Mitroi-Symeonidis, « New extensions of Popoviciu's inequality », Mediterr. J. Math., Volume 13, no 5,‎ , p. 3121-3133 (ISSN 1660-5446, DOI 10.1007/s00009-015-0675-3)
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