Fonction point d'interrogation

La fonction point d'interrogation, ou fonction de Minkowski, est, en mathématiques, une fonction, notée ? (ou ${\displaystyle x\mapsto \mathop {?} (x)}$).

Fonction point d'interrogation de Minkowski

Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904[1] afin d'obtenir une application continue de l'ensemble des irrationnels quadratiques de l'intervalle ]0, 1[ vers l'ensemble des nombres rationnels du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938[2]. Sa restriction aux nombres rationnels est une fonction strictement croissante, dérivable, et de dérivée partout nulle.

Définition

Soit x un nombre réel.

• Si x est rationnel, il a deux représentations en fraction continue (finie) : x = [a₀, a₁, ..., a_n] = [a₀, a₁, ..., a_n-1, 1] où a_n est au moins égal à 2. On pose alors :

${\displaystyle {\mathrm {?} }(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{k}-1}}}}$

On peut expliciter cette expression en calculant la somme et en exprimant le résultat sous forme de développement en base 2 d'un nombre inférieur à 1 ; en utilisant la notation ${\displaystyle (0,\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\dots )_{2}}$ pour le nombre ${\displaystyle (0,\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\dots )_{2}=\sum _{k=1}^{\dots }{\frac {\varepsilon _{k}}{2^{k}}}}$ on obtient :

${\displaystyle {\mathrm {?} }(x)=a_{0}+(0,\underbrace {0\dots 0} _{a_{1}-1}\underbrace {1\dots 1} _{a_{2}}\dots \underbrace {\varepsilon \dots \varepsilon } _{a_{n}-1}1)_{2}}$

• Si x est irrationnel, il a une unique représentation en fraction continue (infinie) : x = [a₀, a₁, ...]. On pose alors :

${\displaystyle {\mathrm {?} }(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{k}-1}}}}$

somme d'une série convergente. Ici aussi, en réécrivant la somme sous forme de nombre binaire on obtient une expression simple :

${\displaystyle {\mathrm {?} }(x)=a_{0}+(0,\underbrace {0\dots 0} _{a_{1}-1}\underbrace {1\dots 1} _{a_{2}}\underbrace {0\dots 0} _{a_{3}}\dots )_{2}}$

Exemples

• Pour un entier, son développement en fraction continue se résume à :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} \quad n=\left[n\right]=\left[n-1,1\right]}$ : ${\displaystyle \mathop {?} \left(n\right)=n}$

• 24/17 est un rationnel :

${\displaystyle {\frac {24}{17}}=\left[1,2,2,2,1\right]=\left[1,2,2,3\right]}$ d'où ${\displaystyle \mathop {?} \left({\frac {24}{17}}\right)=1+{\frac {(-1)^{1+1}}{2^{2-1}}}+{\frac {(-1)^{2+1}}{2^{2+2-1}}}+{\frac {(-1)^{3+1}}{2^{2+2+2-1}}}+{\frac {(-1)^{3}}{2^{2+2+2}}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}-{\frac {1}{64}}=1+{\frac {25}{64}}=1+(0,011001)_{2}}$

• √2 est un irrationnel :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\left[1,2,2,\ldots \right]}$ d'où ${\displaystyle \mathop {?} \left({\sqrt {2}}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k-1}}}={\frac {7}{5}}=1+(0,0{\overline {1100}})_{2}}$

Propriétés

Il s'agit d'une fonction uniformément continue, strictement croissante, impaire et vérifiant sur l'ensemble des nombres réels l'équation fonctionnelle ?(x+1) = ?(x) + 1. Elle est singulière, ce qui signifie que de plus elle est dérivable presque partout et de dérivée nulle presque partout[3]; en particulier elle est dérivable, de dérivée nulle sur les rationnels. Par conséquent elle n'est pas absolument continue.

L'image de l'ensemble des rationnels par cette fonction est l'ensemble des rationnels dyadiques, et, du fait de la caractérisation des nombres algébriques quadratiques par la périodicité de leur développement en fraction continue, l'image de l'ensemble des irrationnels quadratiques est l'ensemble des rationnels non dyadiques.

Si p/q et p'/q' sont deux fractions irréductibles telles que |pq' – p'q| = 1 (deux éléments successifs d'une suite de Farey), alors

${\displaystyle ?\left({\frac {p+p'}{q+q'}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\mathop {?} \left({\frac {p}{q}}\right)+\mathop {?} \left({\frac {p'}{q'}}\right)\right)}$

Toute fraction se décompose de manière unique comme médiane de deux fractions de numérateurs et dénominateurs plus petits (voir l'article sur l'arbre de Stern-Brocot) ; joint au fait que ${\displaystyle \mathop {?} (0/1)=0}$ et ${\displaystyle \mathop {?} (1/1)=1}$, cela donne une définition par récurrence de la fonction ? sur les rationnels.

La fonction point d'interrogation est un cas particulier des courbes fractales de De Rham.

La fonction boîte de Conway

La fonction point d'interrogation est bijective, et sa bijection réciproque a également attiré l'attention de divers mathématiciens, en particulier John Horton Conway, qui l'a redécouverte indépendamment, notant ${\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline x\\\hline \end{array}}}$ la fonction ?^−1(x). Cette fonction (qui lui permet de résoudre le jeu des « fractions distordues »[4]) peut être calculée à partir du développement binaire de (x – ⌊x⌋)/2, où ⌊x⌋ note la fonction partie entière. Ce développement binaire est formé de n₁ zéros, suivis de n₂ uns, puis de n₃ zéros et ainsi de suite. Posant n₀ = ⌊x⌋, on a alors

${\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline x\\\hline \end{array}}=[n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},\ldots ]}$,

la notation de droite représentant un développement en fraction continue.

La fonction boîte de Conway s'obtient également à partir de la suite diatomique de Stern[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minkowski's question mark function » (voir la liste des auteurs).

1. (de) H. Minkowski, « Zur Geometrie der Zahlen », dans Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, Berlin, 1904, p. 164-173.
2. A. Denjoy, « Sur une fonction réelle de Minkowski », J. Math. Pures Appl., vol. 17,‎ 1938, p. 105-151 (lire en ligne).
3. Précisément une fonction singulière est une fonction continue, non constante, dérivable presque partout et de dérivée presque partout nulle, voir par exemple Biblioni et al. en bibliographie
4. (en) John H. Conway, On Numbers and Games, chap. 8.
5. (en) Sam Northshield, « Stern's diatomic sequence », Amer. Math. Monthly, vol. 117, n^o 7,‎ 2010, p. 581-598.

Voir aussi

Articles connexes

• Suite de Farey
• Escalier du diable

Bibliographie

• (en) L. Biblioni, J. Paradis et P. Viader, « A new light on Minkowski's ?(x) Function », J. Number Theory, vol. 73, n^o 2,‎ 1998, p. 212-227 (DOI 10.1006/jnth.1998.2294)
• (en) L. Biblioni, J. Paradis et P. Viader, « The derivative of Minkowski's singular function », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 253, n^o 1,‎ 2001, p. 107-125 (DOI 10.1006/jmaa.2000.7064)

Liens externes

• (en) Randolph M. Conley, « A Survey of the Minkowski ?(x) Function : Master's Thesis », sur West Virginia University, 2003
• (en) Linas Vepstas, « The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL(2,Z) », 2004
• (en) Linas Vepstas, « Modular Fractal Measures » (version du 12 mars 2005 sur Internet Archive)