Fonction de Tchebychev

La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50

En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev ϑ(x) ou θ(x) est donnée par

où la somme est définie sur les nombres premiers p inférieurs ou égaux à x.

La seconde fonction de Tchebychev ψ(x) est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à  x :

Λ désigne la fonction de von Mangoldt. Les fonctions de Tchebychev, notamment la seconde ψ(x), sont souvent utilisées dans des résultats sur les nombres premiers, car elles sont plus simples à utiliser que la fonction de compte des nombres premiers, π(x) (voir la formule exacte, plus bas). Les deux fonctions de Tchebychev sont asymptotiquement équivalentes à x, un résultat similaire au théorème des nombres premiers.

Les deux fonctions sont nommées d'après Pafnouti Tchebychev.

Relations

La seconde fonction de Tchebychev peut être liée à la première comme suit :

k est l'unique entier tel que pkx et x < pk + 1. Les valeurs de k sont données dans la suite OEISA206722. Une relation plus directe est donnée par

La dernière somme a seulement un nombre fini de termes non-nuls, puisque

La seconde fonction de Tchebychev est le logarithme du plus petit commun multiple des entiers de 1 à n.

Les valeurs de ppcm(1,2,...,n) pour un entier n sont données par OEISA003418.

Équivalents asymptotiques et bornes

On connait les bornes suivantes pour les fonctions de Tchebychev[1],[2] (dans ces formules pk est le k-ème nombre premier : p1 = 2, p2 = 3, etc.)

De plus, sous l'hypothèse de Riemann,

pour tout ε > 0.

Des bornes supérieures existent pour ϑ(x) et ψ(x) telles que[3],[2]

pour tout x > 0.

Une explication de la constante 1,03883 est donnée par OEISA206431.

La formule exacte

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt a prouvé[4] une expression explicite pour ψ(x) comme une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann :

(La valeur numérique de ζ′(0)/ζ(0) est ln(2π).) Ici, ρ parcourt les zéros non triviaux de la fonction zêta, et ψ0 est égale à ψ, sauf en ces points de discontinuités (les puissances premières), où elle prend la valeur moyenne entre les valeurs haute et droite :

De la série de Taylor pour le logarithme, le dernier terme dans la formule explicite peut être écrit comme la somme de xω/ω sur les zéros triviaux de la fonction zêta, ω = −2, −4, −6, ..., i.e.

De même, le premier terme, x = x1/1, correspond au pôle simple de la fonction zêta en 1.

Propriétés

Un théorème d'Erhard Schmidt affirme que, pour une constante positive explicite K, il y a un nombre infini d'entiers naturels x tels que

et un nombre infini d'entiers naturels x tels que[5],[6]

En notation de Landau, on peut l'écrire sous la forme

Hardy et Littlewood[6] ont trouvé le résultat suivant, plus précis :

Relation aux primorielles

La première fonction de Tchebychev est le logarithme de la primorielle de x, noté x#:

On prouve ainsi que le primoriel x# est asymptotiquement égal à e(1 + o(1))x, et avec le théorème des nombres premiers, on peut déduire le comportement asymptotique de pn#.

Relation à la fonction de compte

La fonction de Tchebychev peut être reliée à la fonction de compte des nombres premiers. Si on pose

Alors

La transition de Π à la fonction de compte, π, est obtenue à l'équation

Puisque π(x) ≤ x, pour l'approximation, cette dernière relation peut être réécrite

L'hypothèse de Riemann

L'hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta ont pour partie réelle 1/2. Dans ce cas, |xρ| = x, et elle peut être décrite par

De l'égalité, on déduit :

De bonnes preuves de la véracité de l'hypothèse viennent du fait proposé par Alain Connes et d'autres, que si on différencie la formule de von Mangoldt par rapport à x, on a x = eu. Par des calculs, on obtient la formule de trace de l'exponentielle de l'opérateur hamiltonien satisfaisant :

et

où la somme trigonométrique peut être considérée comme la trace de l'opérateur ei (en mécanique statistique), qui n'est vrai que si ρ = 1/2 + iE(n).

Par une approche semi-classique, le potentiel de H = T + V satisfait :

avec Z(u) → 0 si u → ∞.

Des solutions de cette équation intégrale non linéaire peuvent être obtenues (entre autres) par

pour obtenir l'inverse du potentiel:

Fonction de lissage

La fonction de lissage est définie par

On peut montrer que

Formulation variationnelle

La fonction de Tchebychev en x = et minimise la fonctionnelle

ainsi

Notes

  1. Pierre Dusart, « Sharper bounds for ψ, θ, π, pk », Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges,‎ . Une version abrégée existe sous le nom « The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k − 1) for k ≥ 2 », Mathematics of Computation, vol. 68, no 225,‎ , p. 411-415
  2. a et b Pierre Dusart, « Estimates of some functions over primes without R.H. », Mathematics Subject Classification,‎ (arXiv 1002.0442)
  3. J. Barkley Rosser et Lowell Schoenfeld, « Approximate formulas for some functions of prime numbers. », Illinois J. Math., vol. 6,‎ , p. 64–94. (lire en ligne)
  4. (en) Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, , 104 p. (ISBN 0-387-95097-4, lire en ligne)
  5. Erhard Schmidt, « Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze », Mathematische Annalen, vol. 57,‎ , p. 195-204
  6. a et b G .H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41,‎ , p. 119-196.

Références

  • Tom M. Apostol, Introduction to analytic number theory, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 340 p. (ISBN 978-0-387-90163-3, lire en ligne)

Liens externes