Espace régulier

En mathématiques, un espace régulier est[1] un espace topologique vérifiant les deux conditions de séparation suivantes[2] :

• T₂ : l'espace est séparé ;
• T₃ : on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts disjoints.

Propriété T₃

Le point x et le fermé F sont respectivement inclus dans les ouverts U et V, qui sont disjoints.

Soit E un espace topologique (non nécessairement séparé). Les propositions suivantes sont équivalentes :

• E est T₃ ;
• on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts d'adhérences disjointes ;
• tout point x admet une base de voisinages fermés (autrement dit : tout ouvert contenant x contient un voisinage fermé de x)[1] ;
• tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés[3].

La topologie grossière (sur n'importe quel ensemble) est T₃.

La propriété T₃ est (de même que T₂) préservée par sous-espaces et par produits.

Espace complètement régulier

Un espace topologique est dit complètement régulier s'il est uniformisable et séparé[4]. Tout espace complètement régulier est régulier, car un espace X est uniformisable si et seulement si pour tout point x de X et tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F.

Par exemple, tout groupe topologique séparé est complètement régulier. Les espaces normaux et les espaces localement compacts sont complètement réguliers.

Notes et références

1. N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitres 1 à 4, Berlin, Springer, 2007 (1^re éd. 1971), 376 p. (ISBN 978-3-540-33936-6, lire en ligne), I.56.
2. Ou simplement T₀ et T₃, puisque T₀∧T₃ ⇒ T₂.
3. (en) « A topological space is regular if and only if any closed set Z is the intersection of its closed neighborhoods? », sur math.stackexchange.
4. N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitres 5 à 10, Berlin, Heidelberg, Springer, 2007 (1^re éd. 1974), 336 p. (ISBN 978-3-540-34486-5, lire en ligne), IX.8.

Article connexe

• Espace semi-régulier (en)