Conjecture de Hanna Neumann

En mathématiques la conjecture de Hanna Neumann est aujourd'hui un théorème de la théorie des groupes, conjecturé par Hanna Neumann en 1957[1] et récemment démontré par Igor Mineyev[2],[3],[4] dans sa version renforcée formulée par Walter Neumann en 1990[5]. Ce théorème concerne le rang (c'est-à-dire le nombre minimal de générateurs) de l'intersection de deux sous-groupes de type fini d'un groupe libre.

Histoire

La conjecture était motivée par un théorème de 1956 dû à Howson[6], selon lequel l'intersection de deux sous-groupes de type fini H et K d'un groupe libre est un groupe libre de type fini. Plus précisément, on savait déjà que H∩K est libre (théorème de Nielsen-Schreier) et Howson montra que si H et K sont de rangs m, n > 0 alors le rang s de H∩K vérifie :

s – 1 ≤ 2mn – m – n = 2(m – 1)(n – 1) + m + n – 2.

La même année[7] et la suivante[1], Hanna Neumann améliora cette majoration en montrant que

s – 1 ≤ 2(m – 1)(n – 1),

conjecturant que ce facteur 2 était même superflu, c'est-à-dire que

s – 1 ≤ (m – 1)(n – 1).

Cet énoncé devint connu sous le nom de « conjecture de Hanna Neumann ».

Si H ou K est d'indice fini, on a égalité[5],[8].

Conjecture de Hanna Neumann renforcée

Si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, a un élément de G et b un élément de sa double classe HaK, c'est-à-dire un élément de la forme hak avec h∈H et k∈K, alors le sous-groupe H ∩ bKb^–1 est conjugué par h de H ∩ aKa^–1, donc de même rang. On sait par ailleurs que si G est libre et si H et K sont de rangs m et n finis et > 0, il n'existe qu'un nombre fini de classes doubles Ha₁K, … , Ha_tK pour lesquelles ce rang est non nul. Si H∩K est de rang s > 0, on a alors[8] :

${\displaystyle s-1\leq \sum _{i=1}^{t}[{\rm {rang}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq 2(m-1)(n-1),}$

ce qui rend naturelle la « conjecture de Hanna Neumann renforcée » formulée par Walter Neumann[5] (l'un de ses trois fils) :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}[{\rm {rang}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq (m-1)(n-1).}$

Résultats partiels et autres généralisations

• En 1971, Burns affina la majoration de Hanna Neumann de 1957 en[9],[10]s – 1 ≤ 2(m – 1)(n – 1) – min(m – 1, n – 1).
• En 1990, Walter Neumann[5] précisa le résultat de Burns en démontrant que (avec les notations ci-dessus)${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}[{\rm {rang}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq 2(m-1)(n-1)-\min(m-1,n-1)}$ et formula la conjecture renforcée (voir ci-dessus).
• En 1992, Gábor Tardos[11] établit cette conjecture renforcée dans le cas où m ou n est égal à 2. Comme dans la plupart des approches de cette conjecture[12], il utilisait une technique de théorie géométrique des groupes : celle des graphes de sous-groupes de Stallings[13].
• En 1994, Warren Dicks[14] reformula la conjecture renforcée en termes de théorie des graphes.
• En 2000, Goulnara Arzhantseva[15] démontra que si H est un sous-groupe de type fini et d'indice infini d'un groupe libre G alors, pour une classe « générique » – en un certain sens statistique – de sous-groupes K de G de type fini, tous les H ∩ aKa^–1 sont triviaux. Ainsi, pour tout sous-groupe de type fini H de G, la conjecture renforcée est vérifiée pour des K génériques.
• En 2001, Dicks et Formanek (en)[16] utilisèrent l'équivalence établie par Dicks en 1994 pour prouver la conjecture renforcée dans le cas où m ou n est inférieur ou égal à 3.
• En 2002, Bilal Khan[17] et, indépendamment, John Meakin et Pascal Weil[18] prouvèrent la conjecture renforcée dans le cas où l'un des deux sous-groupes H ou K du groupe libre G est « positivement engendré », c'est-à-dire engendré par un ensemble fini d'éléments qui sont produits seulement de générateurs de G, et pas de leurs inverses.
• Sergei Ivanov[19],[20], puis Dicks et Ivanov[21], ont obtenu des analogues et des généralisations des résultats de Hanna Neumann pour des intersections de deux sous-groupes d'un produit libre de plusieurs groupes.
• En 2005 – donc avant que la conjecture de Hanna Neumann renforcée soit démontrée – Daniel Wise[22] a prouvé qu'elle implique une autre conjecture[23] en théorie des groupes qui résistait depuis longtemps, selon laquelle tout groupe à un relateur 〈 a₁, a₂, … | W^n 〉 avec n ≥ 2 est « cohérent », c'est-à-dire que tous ses sous-groupes de type fini sont de présentation finie.

Références

1. (en) Hanna Neumann, « On the intersection of finitely generated free groups. Addendum », Publ. Math. Debrecen, vol. 5,‎ 1957, p. 128
2. (en) Igor Mineyev, « Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture », Ann. of Math., vol. 175, n^o 1,‎ 2012, p. 393-414 (DOI 10.4007/annals.2012.175.1.11, lire en ligne)
3. (en) Igor Mineyev, « Groups, graphs, and the Hanna Neumann Conjecture », JTA, vol. 4, n^o 1,‎ 2012, p. 1-12 (lire en ligne) : nouvelle preuve plus courte, grâce à une suggestion de Warren Dicks – cf (en) Mineyev and the Hanna Neumann Conjecture sur le site Low Dimensional Topology
4. (en) Joel Friedman, Sheaves on Graphs and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture, 30 avril 2012, UBC, a annoncé une autre méthode.
5. (en) Walter D. Neumann, « On intersections of finitely generated subgroups of free groups », dans Groups–Canberra 1989, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1456), 1990 (ISBN 3-540-53475-X, lire en ligne), p. 161-170
6. (en) A. G. Howson, « On the intersection of finitely generated free groups », J. London Math. Soc., vol. 29,‎ 1954, p. 428-434 (DOI 10.1112/jlms/s1-29.4.428)
7. (en) Hanna Neumann, « On the intersection of finitely generated free groups », Publ. Math. Debrecen, vol. 4,‎ 1956, p. 186-189
8. (en) Wilfried Imrich et Thomas Müller, « On Howson's Theorem », Arch. Math., vol. 62, n^o 3,‎ 1994, p. 193-198 (DOI 10.1007/BF01261357), preprint de W. Imrich
9. (en) Robert G. Burns, « On the intersection of finitely generated subgroups of a free group », Math. Z., vol. 119,‎ 1971, p. 121-130 (DOI 10.1007/BF01109964, lire en ligne)
10. La preuve de Burns est simplifiée dans (en) Peter Nickolas, « Intersections of finitely generated free groups », Bull. Austral. Math. Soc., vol. 31,‎ 1985, p. 339-348 (lire en ligne) et (en) Brigitte Servatius, « A short proof of a theorem of Burns », Math. Z., vol. 184,‎ 1983, p. 133-137 (DOI 10.1007/BF01162012, lire en ligne), et sa majoration est améliorée en s – 1 ≤ 2(m – 1)(n – 1) – min(j(m – 1), i(n – 1)), où j et i désignent les indices respectifs de H et K, dans (en) R. G. Burns, Wilfried Imrich et Brigitte Servatius, « Remarks on the intersection of finitely generated subgroups of a free group », Canad. Math. Bull., vol. 29,‎ 1986, p. 204-207 (lire en ligne).
11. (en) Gábor Tardos, « On the intersection of subgroups of a free group », Invent. Math., vol. 108, n^o 1,‎ 1992, p. 29-36 (DOI 10.1007/BF02100597, lire en ligne)
12. Voir par exemple (en) Richard Peabody Kent, « Intersections and joins of free groups », Algebraic & Geometric Topology, vol. 9,‎ 2009, p. 305–325, « 0802.0033 », texte en accès libre, sur arXiv. et sa bibliographie.
13. (en) John R. Stallings, « Topology of finite graphs », Invent. Math., vol. 71, n^o 3,‎ 1983, p. 551-565 (DOI 10.1007/BF02095993, lire en ligne)
14. (en) Warren Dicks, « Equivalence of the strengthened Hanna Neumann conjecture and the amalgamated graph conjecture », Invent. Math., vol. 117, n^o 3,‎ 1994, p. 373-389 (DOI 10.1007/BF01232249, lire en ligne)
15. (en) G. N. Arzhantseva, « A property of subgroups of infinite index in a free group », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 128,‎ 2000, p. 3205-3210 (lire en ligne)
16. (en) Warren Dicks et Edward Formanek, « The rank three case of the Hanna Neumann conjecture », J. Group Theory, vol. 4, n^o 2,‎ 2001, p. 113-151 (DOI 10.1515/jgth.2001.012, lire en ligne)
17. (en) Bilal Khan, « Positively generated subgroups of free groups and the Hanna Neumann conjecture », dans Combinatorial and Geometric Group Theory, AMS, coll. « Contemporary Mathematics » (n^o 296), 2002 (ISBN 978-0-8218-2822-9, lire en ligne), p. 155-170
18. (en) J. Meakin et P. Weil, « Subgroups of free groups: a contribution to the Hanna Neumann conjecture », Geometriae Dedicata, vol. 94,‎ 2002, p. 33-43 (DOI 10.1023/A:1020900823482, lire en ligne)
19. (en) S. V. Ivanov, « Intersecting free subgroups in free products of groups », IJAC, vol. 11, n^o 3,‎ 2001, p. 281-290 (DOI 10.1142/S0218196701000267)
20. (en) S. V. Ivanov, « On the Kurosh rank of the intersection of subgroups in free products of groups », Adv. Math., vol. 218, n^o 2,‎ 2008, p. 465-484 (DOI 10.1016/j.aim.2008.01.003)
21. (en) Warren Dicks et S. V. Ivanov, « On the intersection of free subgroups in free products of groups », Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 144, n^o 3,‎ 2008, p. 511-534. « math/0702363 », texte en accès libre, sur arXiv.
22. (en) Daniel T. Wise, « The Coherence of One-Relator Groups with Torsion and the Hanna Neumann Conjecture », Bull. London Math. Soc., vol. 37, n^o 5,‎ 2005, p. 697-705 (DOI 10.1112/S0024609305004376, lire en ligne)
23. (en) Gilbert Baumslag, « Some problems one one-relator groups », dans Proc. Second Internat. Conf. Theory of Groups, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 372), 1974 (DOI 10.1007/BFb0065160), p. 75-81, DOI 10.1007/BFb0065160

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