En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre de deux groupes G et H est un nouveau groupe, noté G∗H, qui contient G et H comme sous-groupes, est engendré par les éléments de ces sous-groupes, et constitue le groupe « le plus général » possédant ces propriétés.
Le produit libre est le coproduit, ou « somme », dans la catégorie des groupes, c'est-à-dire que la donnée de deux morphismes, de G et H dans un même groupe K, équivaut à celle d'un morphisme de G∗H dans K.
On définit de même le produit libre d'une famille (Gi)i∊I de groupes. Lorsque tous les Gi sont égaux à ℤ, leur produit libre est le groupe libreFI.
Définition
Si G et H sont deux groupes, leur produit libre G∗H est défini comme le groupe (uniqueà isomorphisme près), dans lequel les groupes G et H s'injectent (i:G→G∗H et j:H→G∗H) avec la propriété universelle suivante :
Pour tout groupe K, pour tous morphismesg:G→K et h:H→K, il existe un unique morphisme f:G∗H→K qui prolonge à la fois g et h, c'est-à-dire tel que f∘i=g et f∘j=h.
Un mot sur G et H est alors un produit formel s1s2…sn où chaque si est un élément de G ou de H. On peut réduire un tel mot en répétant le plus possible les deux opérations :
effacer une occurrence de l'élément neutre de G ou de H
remplacer une succession de deux éléments de G par un seul élément (leur produit dans G), ou remplacer une succession de deux éléments de H par leur produit dans H.
Tout mot ainsi réduit est formé par une alternance d'éléments de G et d'éléments de H, par exemple g1h1g2h2…gkhk (ou encore g1h1g2h2…hk-1gk, ou h1g1h2g2…hkgk, ou enfin h1g1h2g2…gk-1hk).
Le produit libre G∗H est l'ensemble de ces mots réduits, muni de l'opération de concaténation puis réduction. (Il faut prouver que cette opération est une loi de groupe. L'existence du neutre et des symétriques se démontre très facilement, mais l'associativité est un peu moins évidente[2]. Un des procédés servant à la démontrer est l'artifice de van der Waerden[3],[4].)
Il est clair qu'un produit libre est toujours infini, sauf bien sûr le produit libre d'un groupe fini par des groupes triviaux.
comme il n'y a aucune relation dans un groupe libre, tout produit libre de groupes libres est un groupe libre. Plus précisément, le groupe libre Fα de rang α est le produit libre de α copies de ℤ, et le produit libre de Fα par Fβ est isomorphe à Fα+β.
Généralisations
Produit libre amalgamé
De même que le produit libre est la somme dans la catégorie des groupes, le produit libre amalgamé, qui le généralise, est défini comme la somme amalgamée dans cette catégorie.
Soient G et H deux groupes, et F un troisième groupe, muni de morphismes φ : F → G et ψ : F → H. On peut construire le produit libre amalgamé G∗FH de G et H au-dessus de F à partir du produit libre G∗H en quotientant par les relations φ(f) = ψ(f). Un peu plus formellement : G∗FH est le quotient de G∗H par le sous-groupe normal engendré(en) par les φ(f) ψ(f)−1 quand f parcourt F (on ne va pas jusqu'à formaliser les injections canoniques de G et H dans G∗H, qu'on assimile à des inclusions).
Par exemple, SL(2,ℤ) est un produit libre amalgamé de deux groupes cycliques d'ordres 4 et 6 au-dessus d'un sous-groupe d'ordre 2.
↑(en) J. E. McClure et A. McGall, « An Elementary Treatment of the Construction of the Free Product of Groups », Amer. Math. Monthly, vol. 122, no 7, , p. 690-692
↑L'artifice de van der Waerden est utilisé et nommé dans (en) Joseph J. Rotman(en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e édition, tirage de 1999, démonstration du théorème 11.1, p. 344, et démonstration du théorème 11.51, p. 389.
↑(en) B. L. van der Waerden, « Free products of groups », Amer. J. Math., vol. 78, , p. 527-528