Catégorie de Fukaya

En topologie symplectique, un domaine actif de la recherche mathématique, la catégorie de Fukaya d'une variété symplectique ${\displaystyle (M,\omega )}$ est la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes de ${\displaystyle M}$, et les morphismes sont les groupes d'homologie de Floer : ${\displaystyle \mathrm {Hom} (L_{0},L_{1})=FC(L_{0},L_{1})}$. Pour décrire sa structure plus fine, il faut recourir au langage des quasi-catégories. Dans le cadre de cette théorie, la catégorie de Fukaya est une A_∞-catégorie.

Nommées d'après leur découvreur, Kenji Fukaya , qui a introduit le concept d'algèbre ${\displaystyle A_{\infty }}$ dans le contexte de l'homologie de Morse, ces catégories se présentent sous diverses formes. Les catégories de Fukaya étant des A_∞-catégories, elles possèdent des catégories dérivées associées, qui font l'objet de la célèbre conjecture de symétrie miroir homologique de Maxime Kontsevitch. Cette conjecture a été confirmée par le calcul dans un certain nombre d'exemples relativement simples.

Références

• P. Seidel, Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory, Zurich lectures in Advanced Mathematics
• Fukaya, Y-G. Oh, H. Ohta, K. Ono, Lagrangian Intersection Floer Theory, Studies in Advanced Mathematics
• Fil de discussion sur MathOverflow 'Is the Fukaya category "defined"?'