Alekseï Konsovski naît à Moscou le . Lors des Grandes Purges, son frère Dmitri (1907-1938), également acteur, est arrêté par les agents du NKVD sur le tournage du film Jeune Homme sévère d'Abram Room. Il ne retournera plus auprès de sa famille, fusillé selon certaines sources, mort en prison selon d'autres.
Alekseï Konsovski sort diplômé de l'école d'art dramatique Vsevolod Meyerhold en 1933, puis, joue dans son théâtre jusqu'en 1935.
En 1935-1936, il est acteur de la troupe de Nikolaï Khmeliov, en 1937-1938, acteur du théâtre de la jeunesse ouvrière de Moscou, puis en 1938-1939, acteur du théâtre de la comédie de Leningrad, en 1940-1943, il travaille aux Soyuzdetfilm organisé au sein du Mejrabpomfilm qui réalisait les films pour les enfants et la jeunesse, en 1943-1950 et en 1953-1986, acteur du théâtre Mossovet, en 1950-1953, acteur du théâtre dramatique Maria-Iermolova.
Artiste émérite de la RSFSR en 1964, il est nommé artiste du peuple de la RSFSR en 1976. Il est lauréat du prix frères Vassiliev en 1966, pour le travail de narration dans les films documentaires Manuscrits de Lénine (1960), Bannière du Parti (1961) et Lénine. Les dernières pages (1963).
Mort à Moscou le , Alekseï Konsovski est enterré à Moscou au cimetière Vagankovo.