2 024 (nombre)

2024 est l'écriture dans le système décimal d'un nombre naturel. Il se lit « deux mille vingt-quatre ».

Dans le système binaire, 2024 s'écrit 11111101000 (1024+512+256+128+64+32+8), qu'on pourra écrire 111 1110 1000 pour une transcription directe dans le système hexadécimal : 7E8.

Propriétés arithmétiques

2024 est un nombre pair, car son dernier chiffre (4) est pair. Il n'est pas multiple de 3, car la somme de ses chiffres (2+0+2+4=8) ne l'est pas, ni multiple de 5 car son dernier chiffre n'est ni 5 ni 0.

Les seuls entiers premiers qui divisent 2024 sont 2, 11 et 23. La décomposition en facteurs premiers de 2024 est : 2^3x11x23. Les diviseurs de 2024 sont tous les nombres de la forme 2^px11^qx23^r, où p vaut 0, 1, 2 ou 3, q et r valent 0 ou 1 (on rappelle qu'un nombre à la puissance 0 vaut 1) ; ils sont donc au nombre de 4x2x2=16, incluant 1 et 2024 lui-même :

1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 184, 253, 506, 1012, 2024

2024 est un coefficient binomial, égal au nombre de choix possibles de 3 éléments dans un ensemble de 24 éléments : ${\displaystyle {n \choose 3}={\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}}$, soit ici ${\displaystyle {\frac {24.23.22}{3.2.1}}=8.11.23}$ ; il figure en 4^e position sur la ligne 24 du triangle de Pascal :

. . .

1 23 253 1771 . . .

1 24 276 2024 10626 . . . (note : 2024 = 253+1771)

1 25 300 2300 . . .

. . .

Image du nombre tétraédrique de hauteur 5

2024 est un nombre tétraédrique, c'est-à-dire égal à la somme des ${\displaystyle n=22}$ premiers nombres triangulaires, ou si on préfère au nombre de cellules d'une pyramide à base triangulaire (un tétraèdre régulier) de hauteur ${\displaystyle n}$ (ici 22) comportant à chaque niveau ${\displaystyle p}$ (de 1 à ${\displaystyle n}$) un nombre de cellules égal au ${\displaystyle p}$^e nombre triangulaire :

1 + 3 + 6 + 10 + ... + 253 = 2024

cas particulier de la formule d'itération de Pascal ${\displaystyle {n \choose 3}=\sum _{k=2}^{n-1}{k \choose 2}}$, elle-même déduite par itération de la relation de Pascal ${\displaystyle {n \choose p}={n-1 \choose p-1}+{n-1 \choose p}}$ avec ${\displaystyle p=3}$.

2024 est aussi le huitième nombre dodécaédrique, puisque ${\displaystyle D_{n}={\binom {3n}{3}}}$.

Curiosités

La somme de tous les diviseurs stricts de 2024 vaut 2296, qui est strictement supérieur à 2024. On dit que c'est un nombre abondant. On peut obtenir le total exact de 2024 en additionnant seulement un certain nombre de ses diviseurs ; par exemple 4+8+11+46+184+253+506+1012 = 2024. On dit que c'est un nombre semi-parfait (un nombre parfait est égal à la somme de tous ses diviseurs stricts ; exemple 6 = 1+2+3).

2024 peut s'écrire de multiples façons comme somme de deux nombres premiers :

2024 = 7+2017 = 13+2011 = 31+1993 = ... = 937+1087

2024 est la somme de huit nombres premiers consécutifs : 2024 = 233 + 239 + 241 + 251 + 257 + 263 + 269 + 271[1]

2024 peut s'écrire de 3 manières, et de 3 seulement, comme somme de nombres entiers consécutifs :

• de 2024 = 8x253 = 8x(126+127) on déduit que 2024 est la somme de 16 nombres consécutifs dont 126 et 127 sont les nombres médians (les nombres équidistants des extrêmes totalisant 2 à 2 253) :

119+120+...+125+126+127+128+...+134 = 2024

• de 2024 = 11x184 on déduit que 2024 est la somme de 11 nombres consécutifs dont 184 est le nombre médian (les autres ayant des écarts à 184 qui se compensent 2 à 2) :

179+180+...+183+184+185+...+189 = 2024

• de même de 2024 = 23x88 on déduit

77+78+...+87+88+89+...+99 = 2024

2024 est la somme de tous les produits ${\displaystyle i.j}$ où ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ sont des entiers strictement positifs tels que ${\displaystyle i+j=23}$ (propriété des nombres tétraédriques)[2] :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{22}{i(23-i)}=}$ 1x22 + 2x21 + 3x20 + 4x19 + ... + 21x2 + 22x1 = 2024

2024 n'est pas un carré, mais est égal à 44x46, soit 45^2 - 1.

Selon le théorème des deux carrés de Fermat, 2024 ne peut pas être la somme de deux carrés, car 11 et 23, ses deux facteurs premiers congrus à 3 modulo 4 (11=2x4+3, 23=5x4+3), figurent dans sa décomposition en facteurs premiers avec un exposant impair (1).

Notes et références

1. (en) Rene-Louis Clerc, Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, « The octuplet of the year 2024 and its relatives », HAL,‎ juin 2024 (HAL hal-4666530, lire en ligne)
2. Tetrahedral (or triangular pyramidal) numbers sur The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS.org)

Voir aussi

Articles connexes

• Nombres 2 000 à 2 999
• Nombre figuré
• Nombre pyramidal
• Combinaison sans répétition
• Partition d'un entier